17 Проверьте себя

Проверьте себя

Сначала ответьте самостоятельно. Там, где формула содержит знаменатель, отдельно укажите условие её применимости.

Чем отличаются точка $A(1,2,3)$ и вектор $\vec a=(1,2,3)$ ? Для $A(-1,2,0)$ и $B(2,2,4)$ найдите $\overrightarrow{AB}$ и $\rho(A,B)$ .
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору или только нулевому? Для
$\vec a=(1,2,0),\qquad \vec b=(2,4,0),\qquad \vec c=(0,0,1)$
проверьте коллинеарность $\vec a,\vec b$ и компланарность всей тройки.
Для $\vec a=(1,1)$ и $\vec b=(1,-2)$ найдите скалярное произведение, определите вид угла, вычислите коэффициент $\alpha$ , скалярную и векторную проекции $\vec a$ на $\vec b$ .
Для
$\vec a=(1,0,0),\qquad \vec b=(0,2,0),\qquad \vec c=(0,0,3)$
найдите $\vec a\times\vec b$ , площадь параллелограмма на $\vec a,\vec b$ и объём параллелепипеда на трёх векторах.
Запишите параметрические и канонические уравнения прямой через $A(1,-1,2)$ с направлением $\vec v=(2,3,0)$ .
Запишите уравнение плоскости через $M_0(1,-2,3)$ с нормалью $\vec n=(2,1,-1)$ . Если для некоторой прямой $\vec v\cdot\vec n=0$ , какие два положения относительно плоскости возможны и как их различить?
Найдите расстояние от точки $P(0,3,4)$ до прямой $\ell:\ \vec r=t(1,0,0)$ в $\R^3$ .
Классифицируйте прямые
$\ell_1:\ \vec r=t(1,0,0), \qquad \ell_2:\ \vec r=(0,1,1)+s(0,1,0)$
и найдите расстояние между ними.

Краткие разборы к разделу «Проверьте себя».

Точка задаёт положение в пространстве, а вектор — смещение с длиной и направлением. Вектор можно параллельно переносить, не меняя его; перенос точки меняет сам геометрический объект. По правилу «конец минус начало»
$\overrightarrow{AB}=(3,0,4), \qquad \rho(A,B)=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5$
Нулевой вектор считаем коллинеарным любому. Здесь $\vec b=2\vec a$ , поэтому $\vec a$ и $\vec b$ коллинеарны. Вся тройка компланарна, поскольку существует нетривиальное равенство
$2\vec a-\vec b+0\vec c=\vec{0}$
посчитаем скалярное произведение
$\vec a\cdot\vec b=1-2=-1, \qquad \cos\varphi=-\frac1{\sqrt{10}},$
поэтому угол тупой. Далее
$\alpha =\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lVert \vec b \rVert^{2}} =-\frac15 \qquad \mathop{\text{пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a=-\frac1{\sqrt5}$ $\mathop{\text{Пр}}\nolimits_{\vec b}\vec a =-\frac15(1,-2)=\left(-\frac15,\frac25\right)$
Найдем векторное произведение
$\vec a\times\vec b=(0,0,2), \qquad S_{\text{пар}}=\lVert \vec a\times\vec b \rVert=2$
Кроме того,
$\left(\vec a,\vec b,\vec c\right)=6, \qquad V_{\text{пар}}=6$
Параметрическая форма:
$\begin{cases} x=1+2t,\\ y=-1+3t,\\ z=2 \end{cases}$
Каноническая запись не содержит деления на ноль:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}, \qquad z=2$
Нормальная форма плоскости равна
$2(x-1)+(y+2)-(z-3)=0,$
то есть $2x+y-z+3=0$ . При $\vec v\cdot\vec n=0$ прямая либо лежит в плоскости, либо параллельна ей вне плоскости. Случаи различает подстановка одной точки прямой в уравнение плоскости.
Берём $A=(0,0,0)$ на прямой. Тогда
$\overrightarrow{AP}\times\vec v =(0,3,4)\times(1,0,0)=(0,4,-3),$
поэтому
$\rho(P,\ell)=\frac{\sqrt{4^2+(-3)^2}}{1}=5$
Направления $(1,0,0)$ и $(0,1,0)$ неколлинеарны. При этом
$(0,1,1)\cdot\bigl((1,0,0)\times(0,1,0)\bigr)=1\ne0,$
поэтому прямые скрещиваются. Их расстояние равно
$\rho(\ell_1,\ell_2)=\frac{|1|}{\lVert (0,0,1) \rVert}=1$