Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2325

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интегралы:

\displaystyle\int_0^{100}\frac{e^{-x}}{x+100}\,dx

Ответ:

\dfrac{1-e^{-100}}{200}<I <\dfrac{1-e^{-100}}{100}

Решение

Возьмём в первой теореме о среднем положительный вес

e^{-x}

и непрерывный множитель

\frac1{x+100}

. Для некоторого

\xi\in[0,100]

имеем

I=\dfrac1{\xi+100}\int_0^{100}e^{-x}\,dx =\dfrac{1-e^{-100}}{\xi+100}

На рассматриваемом отрезке

\dfrac1{200}\le\dfrac1{x+100}\le\dfrac1{100}

Следовательно,

\dfrac{1-e^{-100}}{200}\le I \le\dfrac{1-e^{-100}}{100}

Во внутренних точках обе оценки множителя строгие, а вес положителен. Поэтому равенства в полученных границах невозможны.