Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2319

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2319

1. Найти среднее значение длины фокального радиуса-вектора эллипсаr=ρ1−εcos⁡φ(0<ε<1).r=\frac{\rho}{1-\varepsilon\cos\varphi}\quad(0<\varepsilon<1).2. Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна v0v_0.
Ответ:1. Среднее по полярному углу:r‾=ρ1−ε2\overline r=\dfrac{\rho}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}2. За время T>0T>0:v‾=v0+gT2=v0+v(T)2\overline v=v_0+\dfrac{gT}{2}=\dfrac{v_0+v(T)}2

Решение

1. Среднее значение фокального радиуса-вектора найдём по полному изменению полярного угла:r‾=12π∫02πρ1−εcos⁡φ dφ\overline r=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
\dfrac{\rho}{1-\varepsilon\cos\varphi}\,d\varphiВо второй половине периода используем отражениеφ=2π−t,t=2π−φ,dφ=−dt\varphi=2\pi-t,\qquad t=2\pi-\varphi,\qquad d\varphi=-dtПри отражении границы и косинус переходят вφ=π ⟹ t=π,φ=2π ⟹ t=0cos⁡(2π−t)=cos⁡t\begin{gathered}
\varphi=\pi\ \Longrightarrow\ t=\pi,
\qquad \varphi=2\pi\ \Longrightarrow\ t=0\\
\cos(2\pi-t)=\cos t
\end{gathered}Перестановка границ компенсирует минус из дифференциала, поэтому интегралы по двум половинам равны. Следовательно,r‾=ρπ∫0πdφ1−εcos⁡φ\overline r=\dfrac{\rho}{\pi}
\int_0^\pi\dfrac{d\varphi}{1-\varepsilon\cos\varphi}На 0≤φ<π0\le\varphi<\pi используем замену тангенса половинного угла:t=tg⁡φ2,φ=2arctg⁡tdφ=2 dt1+t2,cos⁡φ=1−t21+t2\begin{gathered}
t=\tg\dfrac\varphi2,\qquad \varphi=2\arctg t\\
d\varphi=\dfrac{2\,dt}{1+t^2},\qquad
\cos\varphi=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}
\end{gathered}При φ=0\varphi=0 имеем t=0t=0, а при φ→π−\varphi\to\pi^- имеем t→+∞t\to+\infty. Так как 0<ε<10<\varepsilon<1, оба числа 1−ε1-\varepsilon и 1+ε1+\varepsilon положительны. После преобразования имеемr‾=2ρπ∫0+∞dt(1−ε)+(1+ε)t2\overline r=\dfrac{2\rho}{\pi}\int_0^{+\infty}
\dfrac{dt}{(1-\varepsilon)+(1+\varepsilon)t^2}Нормируем коэффициенты линейной заменой:u=t1+ε1−ε,t=u1−ε1+εdt=1−ε1+ε du\begin{gathered}
u=t\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}},\qquad
t=u\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}\\
dt=\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}\,du
\end{gathered}После замены знаменатель равен(1−ε)+(1+ε)t2=(1−ε)(1+u2)(1-\varepsilon)+(1+\varepsilon)t^2
=(1-\varepsilon)(1+u^2)Границы остаются 00 и +∞+\infty. Числовой множитель из дифференциала делим на коэффициент знаменателя:1−ε1+ε1−ε=1(1−ε)(1+ε)=11−ε2\dfrac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}}{1-\varepsilon}
=\dfrac1{\sqrt{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)}}
=\dfrac1{\sqrt{1-\varepsilon^2}}Все корни здесь положительны, поскольку 0<ε<10<\varepsilon<1. Поэтомуr‾=2ρπ1−ε2∫0+∞du1+u2==2ρπ1−ε2[arctg⁡u]0+∞=ρ1−ε2\begin{aligned}
\overline r
&=\dfrac{2\rho}{\pi\sqrt{1-\varepsilon^2}}
\int_0^{+\infty}\dfrac{du}{1+u^2}=\\
&=\dfrac{2\rho}{\pi\sqrt{1-\varepsilon^2}}
[\arctg u]_0^{+\infty}=\dfrac{\rho}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}
\end{aligned}Это среднее по углу; усреднение по времени или длине дуги было бы другой величиной.

2. Для среднего значения скорости необходимо указать промежуток времени. Рассмотрим первые T>0T>0 секунд падения, считая направление вниз положительным. При постоянном ускорении свободного падения gg закон скорости имеет видv(t)=v0+gtv(t)=v_0+gtПоэтомуv‾=1T∫0T(v0+gt) dt=v0+gT2=v0+v(T)2\begin{aligned}
\overline v
&=\dfrac1T\int_0^T(v_0+gt)\,dt
=v_0+\dfrac{gT}{2}=\dfrac{v_0+v(T)}2
\end{aligned}При падении вниз это также среднее значение модуля скорости. Без заданной продолжительности падения численное значение определить нельзя.
Демидович № 2319 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика