Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2332

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы:

Задача 2332

Пусть функция f(x)f(x) непрерывно дифференцируема на сегменте [a,b][a,b] и f(a)=0f(a)=0.

Доказать неравенствоM2≤(b−a)∫abf′2(x) dx,M^2\le(b-a)\int_a^bf'^2(x)\,dx,где M=sup⁡a≤x≤b∣f(x)∣M=\displaystyle\sup_{a\le x\le b}|f(x)|.
Доказано:При существовании обычного конечного интеграла справа:M2≤(b−a)∫ab(f′(x))2 dxM^2\le(b-a)\int_a^b(f'(x))^2\,dxПри значении +∞+\infty в расширенном смысле оценка верна автоматически.

Доказательство

Рассматриваем случай, когда записанный обычный интеграл от (f′)2(f')^2 существует и конечен. Докажем оценку через суммы, чтобы не требовать дополнительной непрерывности f′f'.

Зафиксируем x∈(a,b]x\in(a,b] и разобьём [a,x][a,x] точкамиa=t0<t1<⋯<tN=xa=t_0<t_1<\cdots<t_N=xПо теореме Лагранжа для каждого промежутка найдётся ξi∈(ti−1,ti)\xi_i\in(t_{i-1},t_i) такая, чтоf(ti)−f(ti−1)=f′(ξi)Δti,Δti=ti−ti−1f(t_i)-f(t_{i-1})=f'(\xi_i)\Delta t_i,\qquad
\Delta t_i=t_i-t_{i-1}Складываем равенства и используем f(a)=0f(a)=0:f(x)=∑i=1Nf′(ξi)Δtif(x)=\sum_{i=1}^{N}f'(\xi_i)\Delta t_iЧтобы применить неравенство Коши--Буняковского для конечных сумм, представим каждое слагаемое как произведение двух чисел:ui=f′(ξi)Δti,vi=Δti,uivi=f′(ξi)Δtiu_i=f'(\xi_i)\sqrt{\Delta t_i},\qquad
v_i=\sqrt{\Delta t_i},\qquad
u_iv_i=f'(\xi_i)\Delta t_iНеравенство (∑uivi)2≤(∑ui2)(∑vi2)\bigl(\sum u_iv_i\bigr)^2\le\bigl(\sum u_i^2\bigr)\bigl(\sum v_i^2\bigr) даёт∣f(x)∣2≤(∑i=1N(f′(ξi))2Δti)(∑i=1NΔti)==(x−a)∑i=1N(f′(ξi))2Δti\begin{aligned}
|f(x)|^2
&\le\left(\sum_{i=1}^{N}(f'(\xi_i))^2\Delta t_i\right)
\left(\sum_{i=1}^{N}\Delta t_i\right)=\\
&=(x-a)\sum_{i=1}^{N}(f'(\xi_i))^2\Delta t_i
\end{aligned}При стремлении размера разбиения к нулю первая сумма стремится к интегралу от (f′)2(f')^2. Следовательно,∣f(x)∣2≤(x−a)∫ax(f′(t))2 dt≤(b−a)∫ab(f′(t))2 dt|f(x)|^2\le(x-a)\int_a^x(f'(t))^2\,dt
\le(b-a)\int_a^b(f'(t))^2\,dtВ последней оценке использованы x−a≤b−ax-a\le b-a и неотрицательность (f′)2(f')^2. В точке x=ax=a оценка также верна, поскольку f(a)=0f(a)=0. Правая часть не зависит от xx, а непрерывная функция ∣f∣|f| достигает максимума на отрезке. Берём максимум левой части:M2≤(b−a)∫ab(f′(x))2 dxM^2\le(b-a)\int_a^b(f'(x))^2\,dxЕсли интеграл неотрицательной функции справа понимается в расширенном смысле и равен +∞+\infty, оценка также верна, поскольку MM конечен. Для обычного конечного интеграла его существование необходимо для самой записи утверждения.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2332 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика