Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2329

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы:

Задача 2329

∫abe−αxxsin⁡x dx\displaystyle\int_a^b\frac{e^{-\alpha x}}x\sin x\,dx (α≥0; 0<a<b)(\alpha\ge0;\ 0<a<b).
Ответ:∣I∣≤2e−αaa|I|\le\dfrac{2e^{-\alpha a}}aБолее точная оценка:∣I−e−αacos⁡aa+e−αbcos⁡bb∣≤e−αaa−e−αbb\left|I-\dfrac{e^{-\alpha a}\cos a}{a}
+\dfrac{e^{-\alpha b}\cos b}{b}\right|
\le\dfrac{e^{-\alpha a}}a-\dfrac{e^{-\alpha b}}b

Решение

Обозначим положительный вес черезg(x)=e−αxxg(x)=\dfrac{e^{-\alpha x}}xПри α≥0\alpha\ge0 и x>0x>0 имеемg′(x)=−e−αx(αx+1x2)<0g'(x)=-e^{-\alpha x}
\left(\dfrac{\alpha}{x}+\dfrac1{x^2}\right)<0По второй теореме о среднем интеграл представляется через два интеграла синуса, разделённые некоторой точкой ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]. Их можно вычислить по первообразной −cos⁡x-\cos x:∫aξsin⁡x dx=cos⁡a−cos⁡ξ∫ξbsin⁡x dx=cos⁡ξ−cos⁡b\begin{aligned}
\int_a^\xi\sin x\,dx&=\cos a-\cos\xi\\
\int_\xi^b\sin x\,dx&=\cos\xi-\cos b
\end{aligned}Подставляя эти значения и собирая коэффициент при cos⁡ξ\cos\xi, получаемI=g(a)∫aξsin⁡x dx+g(b)∫ξbsin⁡x dx==g(a)cos⁡a−g(b)cos⁡b−(g(a)−g(b))cos⁡ξ\begin{aligned}
I
&=g(a)\int_a^\xi\sin x\,dx+g(b)\int_\xi^b\sin x\,dx=\\
&=g(a)\cos a-g(b)\cos b-(g(a)-g(b))\cos\xi
\end{aligned}Поскольку g(a)−g(b)>0g(a)-g(b)>0 и ∣cos⁡ξ∣≤1|\cos\xi|\le1, это сразу даёт оценку относительно известного числаC=e−αacos⁡aa−e−αbcos⁡bbC=\dfrac{e^{-\alpha a}\cos a}{a}
-\dfrac{e^{-\alpha b}\cos b}{b}А именно,∣I−C∣≤e−αaa−e−αbb|I-C|\le\dfrac{e^{-\alpha a}}a-\dfrac{e^{-\alpha b}}bДля более простой оценки модуля используем ∣C∣≤g(a)+g(b)|C|\le g(a)+g(b). Тогда∣I∣≤∣C∣+g(a)−g(b)≤2g(a)=2e−αaa|I|\le|C|+g(a)-g(b)\le2g(a)
=\dfrac{2e^{-\alpha a}}a
Демидович № 2329 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика