Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2316

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2316

Определить знаки следующих определённых интегралов:а) ∫02πxsin⁡x dx;б) ∫02πsin⁡xx dx;\text{а) }\int_0^{2\pi}x\sin x\,dx;\qquad
\text{б) }\int_0^{2\pi}\frac{\sin x}x\,dx;в) ∫−22x32x dx;г) ∫1/21x2ln⁡x dx.\text{в) }\int_{-2}^2x^32^x\,dx;\qquad
\text{г) }\int_{1/2}^1x^2\ln x\,dx.
Вывода) Отрицательный; б) положительный; в) положительный; г) отрицательный.

Решение

Для определения знака сравним участки, на которых подынтегральная функция положительна и отрицательна.

а) Во второй половине отрезка положимx=t+π,t=x−π,dx=dtx=t+\pi,\qquad t=x-\pi,\qquad dx=dtНовые пределы и значение синуса равныx=π ⟹ t=0,x=2π ⟹ t=πsin⁡(t+π)=−sin⁡t\begin{gathered}
x=\pi\ \Longrightarrow\ t=0,
\qquad x=2\pi\ \Longrightarrow\ t=\pi\\
\sin(t+\pi)=-\sin t
\end{gathered}После преобразования второй части переименуем переменную tt в xx и сложим обе части:Ia=∫0πxsin⁡x dx−∫0π(x+π)sin⁡x dx==−π∫0πsin⁡x dx=−2π<0\begin{aligned}
I_a
&=\int_0^\pi x\sin x\,dx
-\int_0^\pi(x+\pi)\sin x\,dx=\\
&=-\pi\int_0^\pi\sin x\,dx=-2\pi<0
\end{aligned}б) В точке 00 дробь имеет конечный предел 11, так что её можно непрерывно доопределить. Применяя тот же сдвиг во второй половине отрезка, получаемIb=∫0πsin⁡x(1x−1x+π) dx>0I_b=\int_0^\pi\sin x
\left(\dfrac1x-\dfrac1{x+\pi}\right)\,dx>0При 0<x<π0<x<\pi синус положителен. Второй множитель также положителен, поскольку1x−1x+π=πx(x+π)>0\dfrac1x-\dfrac1{x+\pi}
=\dfrac{\pi}{x(x+\pi)}>0Их произведение имеет конечный предел при x→0+x\to0^+, поэтому интеграл существует и строго положителен.

в) Отрицательную половину отрезка преобразуем заменойx=−t,t=−x,dx=−dtx=-t,\qquad t=-x,\qquad dx=-dtПри x=−2x=-2 новая переменная равна 22, а при x=0x=0 равна 00. Куб меняет знак, поэтому∫−20x32x dx=∫20t32−t dt=−∫02t32−t dt\int_{-2}^0x^3 2^x\,dx
=\int_2^0t^3 2^{-t}\,dt
=-\int_0^2t^3 2^{-t}\,dtСкладываем эту часть с интегралом по [0,2][0,2] и переименовываем tt в xx:Ic=∫02x3(2x−2−x) dx>0I_c=\int_0^2x^3\left(2^x-2^{-x}\right)\,dx>0Действительно, при x>0x>0 имеем x3>0x^3>0 и 2x>2−x2^x>2^{-x}.

г) Во внутренних точках отрезка множители имеют знакиx2>0,ln⁡x<0,12≤x<1x^2>0,\qquad \ln x<0,
\qquad \dfrac12\le x<1В точке 11 произведение равно нулю. На остальном отрезке оно отрицательно, поэтому∫121x2ln⁡x dx<0\int_{\frac12}^1 x^2\ln x\,dx<0
Демидович № 2316 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика