Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2328

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы:

\displaystyle\int_{100\pi}^{200\pi}\frac{\sin x}x\,dx

Ответ:

0\le I\le\dfrac1{100\pi}

Решение

Вес

\frac1x

положителен и убывает на данном отрезке. Вторая теорема о среднем, применённая к этому весу и

\sin x

, даёт точку

\xi\in[100\pi,200\pi]

такую, что

I=\dfrac1{100\pi}\int_{100\pi}^{\xi}\sin x\,dx +\dfrac1{200\pi}\int_\xi^{200\pi}\sin x\,dx

Косинусы в обоих концах отрезка равны

1

. Поэтому

\begin{aligned} I &=\dfrac{1-\cos\xi}{100\pi} +\dfrac{\cos\xi-1}{200\pi}=\\ &=\dfrac{1-\cos\xi}{200\pi}\end{aligned}

Используем

0\le1-\cos\xi\le2

и получаем требуемую оценку.