Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2324

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интегралы:

\displaystyle\int_0^1\frac{x^9}{\sqrt{1+x}}\,dx

Ответ:

\dfrac1{10\sqrt2}<I<\dfrac1{10}

Решение

Применим первую теорему о среднем с неотрицательным весом

x^9

. Она позволяет заменить непрерывный множитель

\frac1{\sqrt{1+x}}

одним его значением:

I=\dfrac1{\sqrt{1+\xi}}\int_0^1x^9\,dx =\dfrac1{10\sqrt{1+\xi}},\qquad 0\le\xi\le1

На всём отрезке выполняется

\dfrac1{\sqrt2}\le\dfrac1{\sqrt{1+x}}\le1

Умножаем эти оценки на

x^9\ge0

и интегрируем. Так как

\int_0^1x^9\,dx=\frac1{10}

, получаем

\dfrac1{10\sqrt2}\le I\le\dfrac1{10}

На

0<x<1

множитель строго находится между своими граничными значениями, а вес положителен. Поэтому обе оценки можно сделать строгими.