Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2331

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы:

Задача 2331

Пусть функции φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) интегрируемы на промежутке [a,b][a,b] вместе со своими квадратами. Доказать неравенство Коши---Буняковского{∫abφ(x)ψ(x) dx}2≤∫abφ2(x) dx∫abψ2(x) dx.\left\{\int_a^b\varphi(x)\psi(x)\,dx\right\}^2
\le\int_a^b\varphi^2(x)\,dx\int_a^b\psi^2(x)\,dx.
Доказано:(∫abφ(x)ψ(x) dx)2≤(∫abφ2(x) dx)(∫abψ2(x) dx)\left(\int_a^b\varphi(x)\psi(x)\,dx\right)^2
\le
\left(\int_a^b\varphi^2(x)\,dx\right)
\left(\int_a^b\psi^2(x)\,dx\right)

Доказательство

Введём три числаA=∫abφ2(x) dxB=∫abφ(x)ψ(x) dxD=∫abψ2(x) dx\begin{aligned}
A&=\int_a^b\varphi^2(x)\,dx\\
B&=\int_a^b\varphi(x)\psi(x)\,dx\\
D&=\int_a^b\psi^2(x)\,dx
\end{aligned}Интегралы AA и DD неотрицательны. Для любого действительного λ\lambda квадрат (λφ(x)+ψ(x))2\left(\lambda\varphi(x)+\psi(x)\right)^2 также неотрицателен, поэтому0≤∫ab(λφ+ψ)2 dx=Aλ2+2Bλ+D0\le\int_a^b(\lambda\varphi+\psi)^2\,dx
=A\lambda^2+2B\lambda+DЕсли A>0A>0, выделяем полный квадрат:Aλ2+2Bλ+D=A(λ+BA)2+D−B2AA\lambda^2+2B\lambda+D
=A\left(\lambda+\dfrac BA\right)^2+D-\dfrac{B^2}{A}Первое слагаемое неотрицательно и равно нулю при λ=−BA\lambda=-\frac BA. Подставляем это значение в уже доказанное неравенство:0≤D−B2A,B2≤AD0\le D-\dfrac{B^2}{A},\qquad B^2\le ADЕсли A=0A=0, то неравенство 2Bλ+D≥02B\lambda+D\ge0 должно выполняться при всех λ\lambda. Предположим, что B≠0B\ne0, и выберемλ=−D+12B\lambda=-\dfrac{D+1}{2B}Тогда2Bλ+D=−(D+1)+D=−1<02B\lambda+D=-(D+1)+D=-1<0Получено противоречие с неотрицательностью интеграла квадрата.

Следовательно, B=0B=0, и B2≤ADB^2\le AD также верно. Возвращаясь к обозначениям, получаем требуемое неравенство. Доказательство учитывает и функции, квадрат которых имеет нулевой интеграл.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2331 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика