Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2317

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2317

Определить, какой интеграл больше:а) ∫0π/2sin⁡10x dxили∫0π/2sin⁡2x dx;\text{а) }\int_0^{\pi/2}\sin^{10}x\,dx\quad\text{или}\quad\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx;б) ∫01e−x dxили∫01e−x2 dx;\text{б) }\int_0^1e^{-x}\,dx\quad\text{или}\quad\int_0^1e^{-x^2}\,dx;в) ∫0πe−x2cos⁡2x dxили∫π2πe−x2cos⁡2x dx.\text{в) }\int_0^\pi e^{-x^2}\cos^2x\,dx\quad\text{или}\quad\int_\pi^{2\pi}e^{-x^2}\cos^2x\,dx.
Вывода) Больше второй интеграл; б) больше второй интеграл; в) больше первый интеграл.

Решение

а) При 0<x<π20<x<\frac\pi2 синус лежит между 00 и 11. Увеличение положительной степени уменьшает такое число:0<sin⁡x<1⟹sin⁡10x<sin⁡2x0<\sin x<1\quad\Longrightarrow\quad\sin^{10}x<\sin^2xИнтегрируя строгое неравенство на промежутке положительной длины, получаем∫0π2sin⁡10x dx<∫0π2sin⁡2x dx\int_0^{\frac\pi2}\sin^{10}x\,dx
<\int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\,dxб) При 0<x<10<x<1 имеем x2<xx^2<x, откуда −x<−x2-x<-x^2. Экспонента возрастает, следовательно,e−x<e−x2,∫01e−x dx<∫01e−x2 dxe^{-x}<e^{-x^2},\qquad
\int_0^1e^{-x}\,dx<\int_0^1e^{-x^2}\,dxв) Переведём второй интеграл на тот же отрезок заменойx=t+π,t=x−π,dx=dtx=t+\pi,\qquad t=x-\pi,\qquad dx=dtПри этом cos⁡2(t+π)=cos⁡2t\cos^2(t+\pi)=\cos^2t, поэтому∫π2πe−x2cos⁡2x dx=∫0πe−(t+π)2cos⁡2t dt\int_\pi^{2\pi}e^{-x^2}\cos^2x\,dx
=\int_0^\pi e^{-(t+\pi)^2}\cos^2t\,dtДля 0≤t≤π0\le t\le\pi разность квадратов положительна:(t+π)2−t2=2πt+π2>0(t+\pi)^2-t^2=2\pi t+\pi^2>0После умножения на минус порядок меняется, а возрастающая экспонента сохраняет полученный порядок:e−(t+π)2<e−t2e^{-(t+\pi)^2}<e^{-t^2}Множитель cos⁡2t\cos^2t неотрицателен и положителен на промежутках положительной длины. Значит,∫0πe−x2cos⁡2x dx>∫π2πe−x2cos⁡2x dx\int_0^\pi e^{-x^2}\cos^2x\,dx
>\int_\pi^{2\pi}e^{-x^2}\cos^2x\,dx
Демидович № 2317 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика