Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2333

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы:

Задача 2333

Доказать равенствоlim⁡n→∞∫nn+psin⁡xx dx=0(p>0).\lim_{n\to\infty}\int_n^{n+p}\frac{\sin x}x\,dx=0\quad(p>0).
Доказано:lim⁡n→∞∫nn+psin⁡xx dx=0,p>0\lim_{n\to\infty}\int_n^{n+p}\dfrac{\sin x}{x}\,dx=0,\qquad p>0

Доказательство

Длина отрезка интегрирования постоянна и равна pp, а на всём этом отрезке x≥nx\ge n. Поэтому при n>0n>0∣∫nn+psin⁡xx dx∣≤∫nn+p∣sin⁡x∣x dx≤∫nn+p1n dx=pn ⟶ 0\begin{aligned}
\left|\int_n^{n+p}\dfrac{\sin x}{x}\,dx\right|
&\le\int_n^{n+p}\dfrac{|\sin x|}{x}\,dx
\le\int_n^{n+p}\dfrac1n\,dx=\dfrac pn\ \longrightarrow\ 0
\end{aligned}Из стремления модуля к нулю следует стремление самого интеграла к нулю.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2333 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика