Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2327

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интегралы:

Задача 2327

Пусть f(x)f(x) непрерывна на [a,b][a,b], а φ(x)\varphi(x) непрерывна на [a,b][a,b] и дифференцируема на (a,b)(a,b), причёмφ′(x)≥0при a<x<b.\varphi'(x)\ge0\quad\text{при }a<x<b.Доказать вторую теорему о среднем, применяя интегрирование по частям и используя первую теорему о среднем.
Доказано:Существует ξ∈[a,b]\xi\in[a,b], для которой∫abf(x)φ(x) dx=φ(a)∫aξf(x) dx+φ(b)∫ξbf(x) dx\int_a^b f(x)\varphi(x)\,dx
=\varphi(a)\int_a^\xi f(x)\,dx
+\varphi(b)\int_\xi^b f(x)\,dx

Доказательство

Из φ′(x)≥0\varphi'(x)\ge0 и теоремы Лагранжа следует, что φ\varphi не убывает. Нужно доказать существование точки ξ∈[a,b]\xi\in[a,b], для которой∫abf(x)φ(x) dx=φ(a)∫aξf(x) dx+φ(b)∫ξbf(x) dx\int_a^b f(x)\varphi(x)\,dx
=\varphi(a)\int_a^\xi f(x)\,dx
+\varphi(b)\int_\xi^b f(x)\,dxВведём первообразнуюF(x)=∫axf(t) dt,F(a)=0,F′=fF(x)=\int_a^x f(t)\,dt,\qquad F(a)=0,\qquad F'=fОна непрерывна. ОбозначимΔ=φ(b)−φ(a)≥0\Delta=\varphi(b)-\varphi(a)\ge0Применим интегрирование по частям в форме интегральных сумм. Это позволяет использовать ровно данные условия: непрерывность φ′\varphi' в них не предполагается. Для разбиения a=x0<⋯<xN=ba=x_0<\cdots<x_N=b рассмотрим суммуSN=∑i=1Nφ(xi)(F(xi)−F(xi−1))S_N=\sum_{i=1}^{N}\varphi(x_i)
\left(F(x_i)-F(x_{i-1})\right)Покажем, почему эта сумма стремится к нужному интегралу. ОбозначимδN=max⁡1≤i≤N(xi−xi−1),Mf=max⁡x∈[a,b]∣f(x)∣ΩN=max⁡1≤i≤Nmax⁡x∈[xi−1,xi]∣φ(xi)−φ(x)∣\begin{aligned}
\delta_N&=\max_{1\le i\le N}(x_i-x_{i-1}),\qquad
M_f=\max_{x\in[a,b]}|f(x)|\\
\Omega_N&=\max_{1\le i\le N}\max_{x\in[x_{i-1},x_i]}
|\varphi(x_i)-\varphi(x)|
\end{aligned}Поскольку F(xi)−F(xi−1)=∫xi−1xif(x) dxF(x_i)-F(x_{i-1})=\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\,dx, разность суммы и интеграла записывается и оценивается так:∣SN−∫abφ(x)f(x) dx∣=∣∑i=1N∫xi−1xi(φ(xi)−φ(x))f(x) dx∣≤MfΩN∑i=1N(xi−xi−1)=MfΩN(b−a)\begin{aligned}
\left|S_N-\int_a^b\varphi(x)f(x)\,dx\right|
&=\left|\sum_{i=1}^N\int_{x_{i-1}}^{x_i}
(\varphi(x_i)-\varphi(x))f(x)\,dx\right|\le M_f\Omega_N\sum_{i=1}^N(x_i-x_{i-1})
=M_f\Omega_N(b-a)
\end{aligned}Функция φ\varphi равномерно непрерывна на [a,b][a,b], поэтому при δN→0\delta_N\to0 также ΩN→0\Omega_N\to0. Правая часть оценки стремится к нулю, что доказывает требуемую сходимость суммы.

Для перегруппировки раскроем разности F(xi)−F(xi−1)F(x_i)-F(x_{i-1}). При каждом внутреннем F(xi)F(x_i) встречаются два слагаемых: одно приходит из промежутка с номером ii, другое — из следующего. Они объединяются так:φ(xi)F(xi)−φ(xi+1)F(xi)=F(xi)(φ(xi)−φ(xi+1)),1≤i<N\begin{aligned}
\varphi(x_i)F(x_i)-\varphi(x_{i+1})F(x_i)
&=F(x_i)\bigl(\varphi(x_i)-\varphi(x_{i+1})\bigr),
\quad 1\le i<N
\end{aligned}Граничный член с F(a)F(a) равен нулю, поскольку F(a)=0F(a)=0. Вынося минус и сдвигая индекс в сумме, получаем формулу интегрирования по частям:SN=φ(b)F(b)−∑i=1NF(xi−1)(φ(xi)−φ(xi−1))S_N=\varphi(b)F(b)
-\sum_{i=1}^{N}F(x_{i-1})
\left(\varphi(x_i)-\varphi(x_{i-1})\right)Следовательно, последняя сумма имеет пределL=φ(b)F(b)−∫abφ(x)f(x) dxL=\varphi(b)F(b)-\int_a^b\varphi(x)f(x)\,dxВсе её веса неотрицательны, а их сумма равна Δ\Delta. Если обозначитьm=min⁡[a,b]F,M=max⁡[a,b]Fm=\min_{[a,b]}F,\qquad M=\max_{[a,b]}FтоmΔ≤∑i=1NF(xi−1)(φ(xi)−φ(xi−1))≤MΔm\Delta\le
\sum_{i=1}^{N}F(x_{i-1})
\left(\varphi(x_i)-\varphi(x_{i-1})\right)
\le M\DeltaПри Δ>0\Delta>0 переходим к пределу в оценке и делим на положительное число Δ\Delta:m≤LΔ≤Mm\le\dfrac L\Delta\le MНепрерывная функция FF достигает на отрезке своего минимума mm и максимума MM и принимает каждое промежуточное значение. Поэтому найдётся ξ∈[a,b]\xi\in[a,b], для которойF(ξ)=LΔ,L=ΔF(ξ)F(\xi)=\dfrac L\Delta,\qquad L=\Delta F(\xi)Это тот же принцип, что в первой теореме о среднем с неотрицательным весом: взвешенное среднее является одним из значений непрерывной функции. Подставляем найденное выражение и возвращаемся к ff:∫abφ(x)f(x) dx=φ(b)F(b)−(φ(b)−φ(a))F(ξ)==φ(a)F(ξ)+φ(b)(F(b)−F(ξ))==φ(a)∫aξf(x) dx+φ(b)∫ξbf(x) dx\begin{aligned}
\int_a^b\varphi(x)f(x)\,dx
&=\varphi(b)F(b)-(\varphi(b)-\varphi(a))F(\xi)=\\
&=\varphi(a)F(\xi)+\varphi(b)(F(b)-F(\xi))=\\
&=\varphi(a)\int_a^\xi f(x)\,dx
+\varphi(b)\int_\xi^b f(x)\,dx
\end{aligned}Если Δ=0\Delta=0, монотонная φ\varphi постоянна, и последнее равенство верно при любом ξ\xi. Таким образом, доказаны и обычный, и вырожденный случаи второй теоремы о среднем.

Что и требовалось доказать

Демидович № 2327 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика