Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2318

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 2318

Определить средние значения данных функций в указанных промежутках:

а) f(x)=x2f(x)=x^2 на [0,1][0,1];

б) f(x)=xf(x)=\sqrt x на [0,100][0,100];

в) f(x)=10+2sin⁡x+3cos⁡xf(x)=10+2\sin x+3\cos x на [0,2π][0,2\pi];

г) f(x)=sin⁡xsin⁡(x+φ)f(x)=\sin x\sin(x+\varphi) на [0,2π][0,2\pi].
Ответ:а) 13\frac13; б) 203\frac{20}{3}; в) 1010; г) 12cos⁡φ\frac12\cos\varphi.

Решение

Среднее значение функции на отрезке [a,b][a,b] равно её интегралу, делённому на длину отрезка:f‾=1b−a∫abf(x) dx\overline f=\dfrac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dxа) Длина отрезка равна 11, поэтомуf‾=∫01x2 dx=[x33]01=13\overline f=\int_0^1x^2\,dx
=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac13б) Длина отрезка равна 100100:f‾=1100∫0100x dx=1100[23x32]0100=203\overline f=\dfrac1{100}\int_0^{100}\sqrt x\,dx
=\dfrac1{100}\left[\dfrac23x^{\frac32}\right]_0^{100}
=\dfrac{20}{3}в) Синус и косинус дают нулевой вклад за полный период. Проверим это подстановкой границ в их первообразные:∫02πsin⁡x dx=[−cos⁡x]02π=−1+1=0∫02πcos⁡x dx=[sin⁡x]02π=0\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}\sin x\,dx&=[-\cos x]_0^{2\pi}=-1+1=0\\
\int_0^{2\pi}\cos x\,dx&=[\sin x]_0^{2\pi}=0
\end{aligned}Поэтомуf‾=12π(10⋅2π+2∫02πsin⁡x dx+3∫02πcos⁡x dx)=10\overline f
=\dfrac1{2\pi}\left(10\cdot2\pi
+2\int_0^{2\pi}\sin x\,dx
+3\int_0^{2\pi}\cos x\,dx\right)=10г) Используем формулу произведения в сумму:sin⁡xsin⁡(x+φ)=12(cos⁡φ−cos⁡(2x+φ))\sin x\sin(x+\varphi)
=\dfrac12\left(\cos\varphi-\cos(2x+\varphi)\right)Второе слагаемое имеет нулевой интеграл за рассматриваемый промежуток: первообразная косинуса содержит коэффициент 12\frac12, поскольку производная его аргумента равна 22:∫02πcos⁡(2x+φ) dx=12[sin⁡(2x+φ)]02π==12(sin⁡(4π+φ)−sin⁡φ)=0\begin{aligned}
\int_0^{2\pi}\cos(2x+\varphi)\,dx
&=\dfrac12[\sin(2x+\varphi)]_0^{2\pi}=\\
&=\dfrac12\bigl(\sin(4\pi+\varphi)-\sin\varphi\bigr)=0
\end{aligned}Следовательно,f‾=12π⋅12⋅2πcos⁡φ=12cos⁡φ\overline f=\dfrac1{2\pi}\cdot\dfrac12\cdot2\pi\cos\varphi
=\dfrac12\cos\varphi
Демидович № 2318 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика