Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2320

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Сила переменного тока изменяется по закону

i=i_0\sin\left(\frac{2\pi t}T+\varphi\right),

где

i_0

--- амплитуда,

t

--- время,

T

--- период и

\varphi

--- начальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока.

Ответ:

\overline{i^2}=\dfrac{i_0^2}{2}

Решение

Усредним квадрат силы тока за один период

T>0

\overline{i^2}=\dfrac1T\int_0^T i_0^2\sin^2\left(\dfrac{2\pi t}{T}+\varphi\right)\,dt

По формуле

\sin^2u=\dfrac12(1-\cos2u)

квадрат синуса превращается в постоянную часть и косинус. При интегрировании последнего учитываем производную аргумента

\frac{4\pi}{T}

\int\cos\left(\dfrac{4\pi t}{T}+2\varphi\right)\,dt =\dfrac{T}{4\pi}\sin\left(\dfrac{4\pi t}{T}+2\varphi\right)+C

Следовательно,

\begin{aligned} \overline{i^2} &=\dfrac{i_0^2}{2} -\dfrac{i_0^2}{2T}\int_0^T \cos\left(\dfrac{4\pi t}{T}+2\varphi\right)\,dt=\\ &=\dfrac{i_0^2}{2} -\dfrac{i_0^2}{8\pi} \left[\sin\left(\dfrac{4\pi t}{T}+2\varphi\right)\right]_0^T=\dfrac{i_0^2}{2}\end{aligned}

В последнем переходе использована периодичность синуса:

\sin(4\pi+2\varphi)=\sin2\varphi

Таким образом, среднее не зависит от начальной фазы. Тот же результат получается при усреднении за любой полный период.