Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2330

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы:

Задача 2330

∫absin⁡x2 dx\displaystyle\int_a^b\sin x^2\,dx (0<a<b)(0<a<b).
Ответ:∣I∣≤1a,∣I−cos⁡a22a+cos⁡b22b∣≤12a−12b|I|\le\dfrac1a,\qquad
\left|I-\dfrac{\cos a^2}{2a}+\dfrac{\cos b^2}{2b}\right|
\le\dfrac1{2a}-\dfrac1{2b}

Решение

Чтобы применить вторую теорему о среднем к обычному синусу, положимt=x2,x=t,dx=dt2tx=a ⟹ t=a2,x=b ⟹ t=b2\begin{gathered}
t=x^2,\qquad x=\sqrt t,\qquad dx=\dfrac{dt}{2\sqrt t}\\
x=a\ \Longrightarrow\ t=a^2,\qquad
x=b\ \Longrightarrow\ t=b^2
\end{gathered}ТогдаI=∫a2b2sin⁡t2t dtI=\int_{a^2}^{b^2}\dfrac{\sin t}{2\sqrt t}\,dtВес 12t\frac1{2\sqrt t} положителен и убывает. Вторая теорема о среднем заменяет его двумя граничными значениями: 12a\frac1{2a} и 12b\frac1{2b}. Для точки ξ∈[a2,b2]\xi\in[a^2,b^2] возникающие интегралы равны∫a2ξsin⁡t dt=cos⁡a2−cos⁡ξ∫ξb2sin⁡t dt=cos⁡ξ−cos⁡b2\begin{aligned}
\int_{a^2}^\xi\sin t\,dt&=\cos a^2-\cos\xi\\
\int_\xi^{b^2}\sin t\,dt&=\cos\xi-\cos b^2
\end{aligned}Подставляем их в формулу теоремы:I=12a∫a2ξsin⁡t dt+12b∫ξb2sin⁡t dt==cos⁡a22a−cos⁡b22b−(12a−12b)cos⁡ξ\begin{aligned}
I
&=\dfrac1{2a}\int_{a^2}^\xi\sin t\,dt
+\dfrac1{2b}\int_\xi^{b^2}\sin t\,dt=\\
&=\dfrac{\cos a^2}{2a}-\dfrac{\cos b^2}{2b}
-\left(\dfrac1{2a}-\dfrac1{2b}\right)\cos\xi
\end{aligned}Следовательно,∣I−cos⁡a22a+cos⁡b22b∣≤12a−12b\left|I-\dfrac{\cos a^2}{2a}+\dfrac{\cos b^2}{2b}\right|
\le\dfrac1{2a}-\dfrac1{2b}Для оценки самого интеграла используем полученное выражение и неравенство треугольника. Все косинусы по модулю не больше 11, а 12a−12b>0\frac1{2a}-\frac1{2b}>0. Поэтому∣I∣≤12a+12b+(12a−12b)=1a|I|
\le\dfrac1{2a}+\dfrac1{2b}
+\left(\dfrac1{2a}-\dfrac1{2b}\right)
=\dfrac1a
Демидович № 2330 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика