Раздел IV. Определённый интеграл — § 3. Теоремы о среднем

Демидович — задача 2323

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интегралы:

Задача 2323

\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{dx}{1+0{,}5\cos x}

Ответ:

\dfrac{4\pi}{3}<I<4\pi

Решение

Используем первую теорему о среднем: интеграл непрерывной функции равен длине отрезка, умноженной на одно из её значений. Для некоторого

\xi\in[0,2\pi]

получаем

I=\dfrac{2\pi}{1+\frac12\cos\xi}

Так как

-1\le\cos x\le1

, знаменатель удовлетворяет оценкам

\dfrac12\le1+\dfrac12\cos x\le\dfrac32

Все числа здесь положительны, поэтому при переходе к обратным величинам порядок меняется:

\dfrac23\le\dfrac1{1+\frac12\cos x}\le2

Отсюда

\dfrac{4\pi}{3}\le I\le4\pi

Равенство в одной из границ потребовало бы постоянного значения подынтегральной функции на всём отрезке. Она не постоянна и непрерывна, поэтому обе границы строгие.