Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1372

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1372

Доказать, чтоlim⁡x→+0xf(x)=1,\lim_{x\to+0}x^{f(x)}=1,если непрерывная кривая y=f(x)y=f(x) входит при x→+0x\to+0 в начало координатlim⁡x→+0f(x)=0\lim_{x\to+0}f(x)=0и при 0<x<ε0<x<\varepsilon целиком остаётся внутри острого угла, образованного прямымиy=−kxиy=kx(k≠∞).y=-kx\quad\text{и}\quad y=kx\qquad(k\ne\infty).

Доказательство

Перепишем функцию xf(x)x^{f(x)}, используя основное логарифмическое тождество:xf(x)=ef(x)ln⁡xx^{f(x)} = e^{f(x) \ln x}Для того чтобы доказать, что lim⁡x→+0xf(x)=1\lim\limits_{x\to+0} x^{f(x)} = 1, нам достаточно доказать, что предел показателя экспоненты равен нулю:lim⁡x→+0f(x)ln⁡x=0\lim_{x\to+0} f(x)\ln x = 0По условию кривая при 0<x<ε0 < x < \varepsilon остаётся внутри угла между прямыми y=−kxy = -kx и y=kxy = kx, где, не меняя пары прямых, можно заменить kk на ∣k∣|k| и считать k>0k>0. Это геометрическое условие аналитически записывается в виде двойного неравенства:−kx≤f(x)≤kxили∣f(x)∣≤kx∀x∈(0,ε)-kx \le f(x) \le kx \quad \text{или} \quad |f(x)| \le kx \qquad \forall x \in (0, \varepsilon)Рассмотрим выражение f(x)ln⁡xf(x) \ln x и оценим его по модулю. Так как при x→+0x \to +0 (в частности, при x∈(0,1)x \in (0, 1)) логарифм ln⁡x<0\ln x < 0, то ∣ln⁡x∣=−ln⁡x|\ln x| = -\ln x.
Умножим неравенство ∣f(x)∣≤kx|f(x)| \le kx на положительную величину ∣ln⁡x∣|\ln x|:∣f(x)ln⁡x∣≤kx∣ln⁡x∣=−kxln⁡x|f(x) \ln x| \le kx |\ln x| = -kx \ln xНайдём предел функции kxln⁡xk x \ln x при x→+0x \to +0. Это стандартный предел, раскрывающийся по правилу Лопиталя:lim⁡x→+0xln⁡x=lim⁡x→+0ln⁡x1x=lim⁡x→+0(ln⁡x)′(1x)′=lim⁡x→+01x−1x2=lim⁡x→+0(−x)=0\lim_{x\to+0} x \ln x = \lim_{x\to+0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to+0} \frac{(\ln x)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'} = \lim_{x\to+0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to+0} (-x) = 0Таким образом, lim⁡x→+0(−kxln⁡x)=0\lim\limits_{x\to+0} (-kx \ln x) = 0.
Поскольку ∣f(x)ln⁡x∣|f(x) \ln x| зажат между нулём и функцией, стремящейся к нулю, по теореме о двух милиционерах (о сжатой переменной):lim⁡x→+0∣f(x)ln⁡x∣=0  ⟹  lim⁡x→+0f(x)ln⁡x=0\lim_{x\to+0} |f(x) \ln x| = 0 \implies \lim_{x\to+0} f(x) \ln x = 0Возвращаясь к исходному пределу:lim⁡x→+0xf(x)=lim⁡x→+0ef(x)ln⁡x=e0=1\lim_{x\to+0} x^{f(x)} = \lim_{x\to+0} e^{f(x) \ln x} = e^0 = 1Что и требовалось доказать.

Проверка

Оценки применяются при 0<x<min⁡(ε,1)0<x<\min(\varepsilon,1). В отношении ln⁡x/(1/x)\ln x/(1/x) числитель стремится к −∞-\infty, знаменатель — к +∞+\infty, функции дифференцируемы, а производная знаменателя −1/x2-1/x^2 не равна нулю. Поэтому правило Лопиталя здесь законно.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1372 — решение | Высшая математика — Профиматика