Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1374

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1374

Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующим примерам:а) lim⁡x→0x2sin⁡1xsin⁡x;б) lim⁡x→∞x−sin⁡xx+sin⁡x;\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x}{\sin x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x+\sin x};в) lim⁡x→+∞e−2x(cos⁡x+2sin⁡x)+e−x2sin⁡2xe−x(cos⁡x+sin⁡x);\text{в) }\lim_{x\to+\infty}
\frac{e^{-2x}(\cos x+2\sin x)+e^{-x^2}\sin^2x}
{e^{-x}(\cos x+\sin x)};г) lim⁡x→∞1+x+sin⁡xcos⁡x(x+sin⁡xcos⁡x)esin⁡x.\text{г) }\lim_{x\to\infty}
\frac{1+x+\sin x\cos x}{(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}}.

Решение

Идея

Правило Лопиталя применимо для раскрытия неопределённостей [00]\left[\frac{0}{0}\right] или [∞∞]\left[\frac{\infty}{\infty}\right], если существует предел отношения производных lim⁡f′(x)g′(x)\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}, а производная знаменателя не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности предельной точки.
  1. 1

    Пункт а)

    Найдём отношение производных:(x2sin⁡1x)′(sin⁡x)′=2xsin⁡1x−cos⁡1xcos⁡x\frac{\left(x^2\sin\frac1x\right)'}{(\sin x)'} = \frac{2x\sin\frac1x - \cos\frac1x}{\cos x}При x→0x \to 0 знаменатель cos⁡x→1\cos x \to 1, но числитель не имеет предела из-за осциллирующего слагаемого cos⁡1x\cos\frac1x. Предел отношения производных не существует, следовательно, правило Лопиталя неприменимо.
    (Хотя сам предел легко вычисляется без него и равен 0).
  2. 2

    Пункт б)

    Отношение производных:(x−sin⁡x)′(x+sin⁡x)′=1−cos⁡x1+cos⁡x\frac{(x-\sin x)'}{(x+\sin x)'} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x}При x→∞x \to \infty этот предел не существует. Правило Лопиталя неприменимо.
  3. 3

    Пункт в)

    Знаменатель дроби g(x)=e−x(cos⁡x+sin⁡x)=2e−xsin⁡(x+π4)g(x) = e^{-x}(\cos x+\sin x) = \sqrt{2}e^{-x}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right). Эта функция обращается в нуль в бесконечном множестве точек x=−π4+πkx = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k→∞k \to \infty. Таким образом, не существует такой окрестности бесконечности, в которой знаменатель был бы отличен от нуля. Правило Лопиталя неприменимо.

Проверка

г) Функции в числителе и знаменателе стремятся к бесконечности. Рассмотрим их производные:f′(x)=1+cos⁡2x=2cos⁡2xf'(x) = 1 + \cos 2x = 2\cos^2 xg′(x)=(1+cos⁡2x)esin⁡x+(x+sin⁡xcos⁡x)esin⁡xcos⁡x=esin⁡xcos⁡x(2cos⁡x+x+sin⁡xcos⁡x)g'(x) = (1+\cos 2x)e^{\sin x} + (x+\sin x\cos x)e^{\sin x}\cos x = e^{\sin x}\cos x \left( 2\cos x + x + \sin x\cos x \right)При x=π2+πkx = \frac{\pi}{2} + \pi k производная g′(x)g'(x) обращается в нуль, следовательно, знаменатель производной обращается в нуль сколь угодно далеко. Кроме того, отношение f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)} не имеет предела при x→∞x \to \infty. Правило Лопиталя неприменимо.
Демидович № 1374 — решение