Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1368

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1368

Найти пределы:а) lim⁡x→0(1+ex2)cth⁡x;б) lim⁡x→+∞xln⁡x(ln⁡x)x.\text{а) }\lim_{x\to0}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\operatorname{cth} x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}.
Ответ:а) e\sqrt{e}; \quad б) 00.

Решение

Пункт а)
При x→0x \to 0 основание дроби 1+ex2→1+12=1\frac{1+e^x}{2} \to \frac{1+1}{2} = 1, а показатель степени ∣cth⁡x∣→+∞|\operatorname{cth}x|\to+\infty. Имеем неопределённость [1∞]\left[1^\infty\right]. Перейдём к экспоненте:lim⁡x→0exp⁡(cth⁡xln⁡(1+ex2))\lim_{x\to0} \exp\left( \operatorname{cth} x \ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right) \right)Рассмотрим предел показателя. Сведём неопределённость [∞⋅0][\infty \cdot 0] к виду [00]\left[\frac{0}{0}\right], опустив cth⁡x\operatorname{cth} x в знаменатель как th⁡x\operatorname{th} x:L=lim⁡x→0ln⁡(1+ex2)th⁡xL = \lim_{x\to0} \frac{\ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)}{\operatorname{th} x}Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(ln⁡(1+ex2))′(th⁡x)′=lim⁡x→021+ex⋅ex21ch⁡2x=lim⁡x→0exch⁡2x1+ex\lim_{x\to0} \frac{\left(\ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)\right)'}{(\operatorname{th} x)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{2}{1+e^x} \cdot \frac{e^x}{2}}{\frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}} = \lim_{x\to0} \frac{e^x \operatorname{ch}^2 x}{1+e^x}Подставим x=0x=0:e0ch⁡201+e0=1⋅121+1=12\frac{e^0 \operatorname{ch}^2 0}{1+e^0} = \frac{1 \cdot 1^2}{1+1} = \frac{1}{2}Исходный предел равен:e1/2=ee^{1/2} = \sqrt{e}
Пункт б). При x>1x>1 обе степени положительны. Обозначим их отношение через F(x)F(x) и вычислим логарифм:ln⁡F(x)=(ln⁡x)2−xln⁡ln⁡x=x((ln⁡x)2x−ln⁡ln⁡x).\ln F(x)=(\ln x)^2-x\ln\ln x
=x\left(\frac{(\ln x)^2}{x}-\ln\ln x\right).По №1336 при ε=1/2\varepsilon=1/2 имеем ln⁡x/x→0\ln x/\sqrt x\to0, поэтому(ln⁡x)2x=(ln⁡xx)2⟶0.\frac{(\ln x)^2}{x}=\left(\frac{\ln x}{\sqrt x}\right)^2\longrightarrow0.В то же время ln⁡ln⁡x→+∞\ln\ln x\to+\infty. Для достаточно большого xx первая величина в скобках меньше 11, вторая больше 22, откуда ln⁡F(x)<−x\ln F(x)<-x. Следовательно, ln⁡F(x)→−∞\ln F(x)\to-\infty и F(x)→0F(x)\to0.

Проверка

В пункте а) основание (1+ex)/2(1+e^x)/2 положительно. Числитель и знаменатель вспомогательного отношения стремятся к нулю, а (th⁡x)′=1/ch⁡2x>0(\operatorname{th}x)'=1/\operatorname{ch}^2x>0, так что правило Лопиталя применимо с обеих сторон нуля. В пункте б) все логарифмы определены при x>1x>1.
Демидович № 1368 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика