Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1368

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1368

Найти пределы:а) lim⁡x→0(1+ex2)cth⁡x;б) lim⁡x→+∞xln⁡x(ln⁡x)x.\text{а) }\lim_{x\to0}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\operatorname{cth} x};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}.
Ответ:а) e\sqrt{e}; \quad б) 00.

Решение

Идея

Пункт а)
При x→0x \to 0 основание дроби 1+ex2→1+12=1\frac{1+e^x}{2} \to \frac{1+1}{2} = 1, а показатель степени cth⁡x→∞\operatorname{cth} x \to \infty. Имеем неопределённость [1∞]\left[1^\infty\right]. Перейдём к экспоненте:lim⁡x→0exp⁡(cth⁡xln⁡(1+ex2))\lim_{x\to0} \exp\left( \operatorname{cth} x \ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right) \right)Рассмотрим предел показателя. Сведём неопределённость [∞⋅0][\infty \cdot 0] к виду [00]\left[\frac{0}{0}\right], опустив cth⁡x\operatorname{cth} x в знаменатель как th⁡x\operatorname{th} x:L=lim⁡x→0ln⁡(1+ex2)th⁡xL = \lim_{x\to0} \frac{\ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)}{\operatorname{th} x}Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0(ln⁡(1+ex2))′(th⁡x)′=lim⁡x→021+ex⋅ex21ch⁡2x=lim⁡x→0exch⁡2x1+ex\lim_{x\to0} \frac{\left(\ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)\right)'}{(\operatorname{th} x)'} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{2}{1+e^x} \cdot \frac{e^x}{2}}{\frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}} = \lim_{x\to0} \frac{e^x \operatorname{ch}^2 x}{1+e^x}Подставим x=0x=0:e0ch⁡201+e0=1⋅121+1=12\frac{e^0 \operatorname{ch}^2 0}{1+e^0} = \frac{1 \cdot 1^2}{1+1} = \frac{1}{2}Исходный предел равен:e1/2=ee^{1/2} = \sqrt{e}

Проверка

Пункт б)
При x→+∞x \to +\infty имеем неопределённость [∞∞]\left[\frac{\infty}{\infty}\right]. Обозначим искомый предел через LL и прологарифмируем его:ln⁡L=lim⁡x→+∞ln⁡(xln⁡x(ln⁡x)x)=lim⁡x→+∞(ln⁡x⋅ln⁡x−xln⁡(ln⁡x))=lim⁡x→+∞(ln⁡2x−xln⁡(ln⁡x))\ln L = \lim_{x\to+\infty} \ln\left( \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x} \right) = \lim_{x\to+\infty} \left( \ln x \cdot \ln x - x \ln(\ln x) \right) = \lim_{x\to+\infty} \left( \ln^2 x - x \ln(\ln x) \right)Вынесем xx за скобки, чтобы проанализировать порядок роста слагаемых:ln⁡L=lim⁡x→+∞x(ln⁡2xx−ln⁡(ln⁡x))\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \left( \frac{\ln^2 x}{x} - \ln(\ln x) \right)Известно, что любая степень логарифма растёт медленнее степенной функции, поэтому lim⁡x→+∞ln⁡2xx=0\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln^2 x}{x} = 0 (это легко проверяется двукратным применением правила Лопиталя). Второе слагаемое в скобках ln⁡(ln⁡x)→+∞\ln(\ln x) \to +\infty.
Таким образом, выражение в скобках стремится к 0−(+∞)=−∞0 - (+\infty) = -\infty.
Следовательно:ln⁡L=(+∞)⋅(−∞)=−∞\ln L = (+\infty) \cdot (-\infty) = -\inftyТогда сам предел LL равен:L=e−∞=0L = e^{-\infty} = 0
Демидович № 1368 — решение и ответ