Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1375

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1375

Найти предел отношения площади кругового сегмента, имеющего хорду bb и стрелку hh, к площади равнобедренного треугольника, вписанного в этот сегмент, если дуга сегмента при неизменном радиусе RR стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом, вывести приближённую формулу для площади сегмента:S≈23bh.S\approx\frac23bh.

Решение

Идея

Пусть α\alpha — центральный угол, опирающийся на дугу сегмента. При стремлении дуги к нулю угол α→0\alpha \to 0.
Площадь кругового сегмента определяется формулой:

Проверка

Sсег=12R2(α−sin⁡α)S_{\text{сег}} = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin \alpha)Хорда bb и стрелка (высота сегмента) hh выражаются через радиус RR и угол α\alpha:b=2Rsin⁡α2b = 2R \sin\frac{\alpha}{2}h=R−Rcos⁡α2=R(1−cos⁡α2)=2Rsin⁡2α4h = R - R \cos\frac{\alpha}{2} = R\left(1 - \cos\frac{\alpha}{2}\right) = 2R \sin^2\frac{\alpha}{4}Площадь равнобедренного треугольника, вписанного в этот сегмент (с основанием bb и высотой hh):Sтр=12bh=12(2Rsin⁡α2)(2Rsin⁡2α4)=2R2sin⁡α2sin⁡2α4S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} bh = \frac{1}{2} \left(2R \sin\frac{\alpha}{2}\right) \left(2R \sin^2\frac{\alpha}{4}\right) = 2 R^2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin^2\frac{\alpha}{4}Найдём предел отношения площадей KK при α→0\alpha \to 0:K=lim⁡α→0SсегSтр=lim⁡α→012R2(α−sin⁡α)2R2sin⁡α2sin⁡2α4=lim⁡α→0α−sin⁡α4sin⁡α2sin⁡2α4K = \lim_{\alpha\to0} \frac{S_{\text{сег}}}{S_{\text{тр}}} = \lim_{\alpha\to0} \frac{\frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin \alpha)}{2 R^2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin^2\frac{\alpha}{4}} = \lim_{\alpha\to0} \frac{\alpha - \sin \alpha}{4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin^2\frac{\alpha}{4}}Заменим знаменатель на эквивалентную бесконечно малую функцию при α→0\alpha \to 0:4sin⁡α2sin⁡2α4∼4⋅α2⋅(α4)2=4⋅α2⋅α216=α384 \sin\frac{\alpha}{2} \sin^2\frac{\alpha}{4} \sim 4 \cdot \frac{\alpha}{2} \cdot \left(\frac{\alpha}{4}\right)^2 = 4 \cdot \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\alpha^2}{16} = \frac{\alpha^3}{8}В числителе воспользуемся разложением в ряд Тейлора: sin⁡α=α−α36+o(α3)\sin \alpha = \alpha - \frac{\alpha^3}{6} + o(\alpha^3). Тогда:α−sin⁡α=α36+o(α3)\alpha - \sin \alpha = \frac{\alpha^3}{6} + o(\alpha^3)Подставляя это в предел, получаем:K=lim⁡α→0α36α38=86=43K = \lim_{\alpha\to0} \frac{\frac{\alpha^3}{6}}{\frac{\alpha^3}{8}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}Итак, при малых α\alpha справедливо асимптотическое равенство:Sсег≈43SтрS_{\text{сег}} \approx \frac{4}{3} S_{\text{тр}}Поскольку площадь вписанного треугольника по определению Sтр=12bhS_{\text{тр}} = \frac{1}{2}bh, мы можем подставить это выражение в найденное равенство:Sсег≈43(12bh)=23bhS_{\text{сег}} \approx \frac{4}{3} \left( \frac{1}{2}bh \right) = \frac{2}{3}bhПриближённая формула выведена.
Демидович № 1375 — решение