Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1369

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\,\frac{\ln(e^x+x)}{x}\right]

Ответ:

-\dfrac{1}{6}

Решение

Идея

При

x \to +\infty

выражение представляет собой неопределённость вида

[\infty - \infty]

. Для вычисления предела воспользуемся асимптотическим разложением функций по формуле Тейлора при

x \to +\infty

(представляя бесконечно малые через

o(1)

).
Разложим первое слагаемое:

\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1} = x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)^{\frac{1}{3}}

Воспользуемся разложением

(1+t)^\alpha = 1 + \alpha t + o(t)

при

t \to 0

, где

t = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \sim \frac{1}{x}

x\left(1 + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\right) = x\left(1 + \frac{1}{3x} + o\left(\frac{1}{x}\right)\right) = x + \frac{1}{3} + o(1)

Рассмотрим первый множитель второго слагаемого:

\sqrt{x^2+x+1} = x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}} = x\left(1 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\right) = x + \frac{1}{2} + o(1)

Рассмотрим второй множитель второго слагаемого:

\frac{\ln(e^x+x)}{x} = \frac{\ln\left(e^x(1+xe^{-x})\right)}{x} = \frac{x + \ln(1+xe^{-x})}{x} = 1 + \frac{\ln(1+xe^{-x})}{x}

Поскольку при

x \to +\infty

функция

x e^{-x} \to 0

, используем

\ln(1+u) \sim u

1 + \frac{xe^{-x} + o(xe^{-x})}{x} = 1 + e^{-x} + o(e^{-x})

Поскольку

e^{-x}

убывает быстрее любой отрицательной степени

x

, это выражение можно записать как

1 + o\left(\frac{1}{x}\right)

.
Перемножим разложения для второго слагаемого:

\sqrt{x^2+x+1}\,\frac{\ln(e^x+x)}{x} = \left(x + \frac{1}{2} + o(1)\right) \left(1 + e^{-x} + o(e^{-x})\right)

Раскрывая скобки, получаем:

x + x e^{-x} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-x} + o(1)

Так как

\lim_{x\to+\infty} x e^{-x} = 0

, слагаемое

x e^{-x} = o(1)

. Значит, всё второе слагаемое асимптотически равно

x + \frac{1}{2} + o(1)

Подставим полученные асимптотические разложения в исходный предел:

\lim_{x\to+\infty} \left( \left(x + \frac{1}{3} + o(1)\right) - \left(x + \frac{1}{2} + o(1)\right) \right) = \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + o(1) \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}