Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1369

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1369

lim⁡x→+∞[x3+x2+x+13−x2+x+1 ln⁡(ex+x)x]\lim_{x\to+\infty}\left[
\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}
-\sqrt{x^2+x+1}\,\frac{\ln(e^x+x)}{x}
\right]
Ответ:−16-\dfrac{1}{6}

Решение

ОбозначимA=x3+x2+x+13,B=x2+x+1.A=\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1},\qquad B=\sqrt{x^2+x+1}.При x→+∞x\to+\infty имеем A/x→1A/x\to1 и B/x→1B/x\to1: достаточно вынести x3x^3 и x2x^2 из-под корней.

Отделим от каждого корня его главную часть xx. По формуле разности кубовA−x=A3−x3A2+Ax+x2=x2+x+1A2+Ax+x2=1+1/x+1/x2(A/x)2+A/x+1⟶13.A-x=\frac{A^3-x^3}{A^2+Ax+x^2}
=\frac{x^2+x+1}{A^2+Ax+x^2}
=\frac{1+1/x+1/x^2}{(A/x)^2+A/x+1}\longrightarrow\frac13.Для квадратного корня умножаем на сопряжённое выражение:B−x=x+1B+x=1+1/xB/x+1⟶12.B-x=\frac{x+1}{B+x}=\frac{1+1/x}{B/x+1}\longrightarrow\frac12.Теперь точно преобразуем логарифм:ln⁡(ex+x)=x+ln⁡(1+xe−x).\ln(e^x+x)=x+\ln(1+xe^{-x}).По №1337 xe−x→0xe^{-x}\to0, значит, ln⁡(1+xe−x)→0\ln(1+xe^{-x})\to0. Весь исходный результат можно записать какA−Bln⁡(ex+x)x=(A−x)−(B−x)−Bxln⁡(1+xe−x).A-B\frac{\ln(e^x+x)}x
=(A-x)-(B-x)-\frac Bx\ln(1+xe^{-x}).У последнего произведения первый множитель стремится к 11, второй — к 00. Поэтому искомый предел равен13−12−1⋅0=2−36=−16.\frac13-\frac12-1\cdot0=\frac{2-3}{6}=-\frac16.
Демидович № 1369 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика