Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1371

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1371

Найтиlim⁡x→0yx,\lim_{x\to0}\frac{y}{x},если кривая y=f(x)y=f(x) входит при x→0x\to0 в начало координат (0,0)(0,0)(lim⁡x→0f(x)=0)\left(\lim_{x\to0}f(x)=0\right)под углом α\alpha.
Ответ:tg⁡α\operatorname{tg}\alpha

Решение

Идея

По условию задачи кривая y=f(x)y = f(x) проходит через начало координат, то есть мы можем доопределить (или определить) её в нуле как f(0)=0f(0) = 0.
Условие «кривая входит в начало координат под углом α\alpha» означает, что касательная к графику функции в точке x=0x = 0 образует с положительным направлением оси OxOx угол α\alpha.

Проверка

Геометрический смысл производной функции в точке — это тангенс угла наклона касательной:f′(0)=tg⁡αf'(0) = \operatorname{tg}\alphaВспомним определение производной функции f(x)f(x) в точке x=0x=0:f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0f'(0) = \lim_{x\to0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}Подставляя f(0)=0f(0) = 0 и y=f(x)y = f(x), получаем в точности требуемый предел:lim⁡x→0yx=lim⁡x→0f(x)x=f′(0)=tg⁡α\lim_{x\to0}\frac{y}{x} = \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} = f'(0) = \operatorname{tg}\alphaЕсли α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}, предел будет равен бесконечности (∞\infty). Для всех остальных углов (не равных π2+πk\frac{\pi}{2} + \pi k) предел равен tg⁡α\operatorname{tg}\alpha.
Демидович № 1371 — решение и ответ