Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1371

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1371

Найтиlim⁡x→0yx,\lim_{x\to0}\frac{y}{x},если кривая y=f(x)y=f(x) входит при x→0x\to0 в начало координат (0,0)(0,0)(lim⁡x→0f(x)=0)\left(\lim_{x\to0}f(x)=0\right)под углом α\alpha.
Ответ:tan⁡α\tan\alpha при cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0. Для вертикальной касательной знак и существование двустороннего бесконечного предела требуют отдельной проверки.

Решение

Пусть касательная в начале координат не вертикальна, то есть cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0. Дополним функцию значением f(0)=0f(0)=0. Это непрерывное продолжение, поскольку по условию f(x)→0f(x)\to0.

Прямая, соединяющая (0,0)(0,0) с точкой (x,f(x))(x,f(x)), имеет угловой коэффициент f(x)/xf(x)/x. Условие входа под углом α\alpha означает, что эти секущие приближаются к касательной соответствующего направления. Поэтомуlim⁡x→0f(x)x=tan⁡α.\lim_{x\to0}\frac{f(x)}x=\tan\alpha.При невертикальной касательной это одновременно определение конечной производной продолжения в нуле.

Для вертикальной касательной можно заключить лишь ∣f(x)/x∣→+∞|f(x)/x|\to+\infty. Знаки нужно исследовать отдельно: существование вертикальной касательной само по себе не гарантирует двустороннего предела одного знака. Например, для f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|} отношение равно 1/x1/\sqrt x справа и −1/∣x∣-1/\sqrt{|x|} слева. Вертикальная касательная есть, но пределы равны +∞+\infty и −∞-\infty соответственно. Если направление подхода дополнительно задаёт один знак бесконечного наклона, получается соответствующий односторонний бесконечный предел.
Демидович № 1371 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика