Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 144

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 144

Найти:а) lim⁡n→+∞n2an(a>1);б) lim⁡n→+∞lg⁡nn.\text{а) }\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{a^n}\quad(a>1);\qquad
\text{б) }\lim_{n\to+\infty}\frac{\lg n}{n}.

Решение

Пункт а)

Применим теорему Штольца к xn=n2x_n=n^2 и yn=any_n=a^n. При a>1a>1 знаменатель монотонно возрастает и стремится к +∞+\infty, а отношение разностей равноxn+1−xnyn+1−yn=(n+1)2−n2an+1−an=2n+1an(a−1).\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}
=
\frac{(n+1)^2-n^2}{a^{n+1}-a^n}
=
\frac{2n+1}{a^n(a-1)}.К последнему отношению применим теорему Штольца еще раз:(2(n+1)+1)−(2n+1)an+1(a−1)−an(a−1)=2an(a−1)2→0.\frac{(2(n+1)+1)-(2n+1)}
{a^{n+1}(a-1)-a^n(a-1)}
=
\frac{2}{a^n(a-1)^2}
\to0.Значит, исходный предел равен 00.

Пункт б)

Теперь положим xn=lg⁡nx_n=\lg n, yn=ny_n=n. Знаменатель снова монотонно возрастает к +∞+\infty, аxn+1−xnyn+1−yn=lg⁡(n+1)−lg⁡n=lg⁡(1+1n).\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}
=
\lg(n+1)-\lg n
=
\lg\left(1+\frac1n\right).По задаче 75 имеем 0<ln⁡(1+1n)<1n0<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}. После деления на положительное число ln⁡10\ln10 получаем 0<lg⁡(1+1n)<1(nln⁡10)→00<\lg(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{(n\ln10)}\to0. Значит, по теореме Штольца исходный предел равен 00.
Демидович № 144 — решение | Высшая математика — Профиматика