Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 146

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 146

Доказать, что последовательностьxn=1+12+13+⋯+1n−ln⁡n(n=1,2,…)x_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n-\ln n\qquad(n=1,2,\ldots)сходится.

Таким образом, имеет место формула1+12+13+⋯+1n=C+ln⁡n+εn,1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=C+\ln n+\varepsilon_n,где C=0,577216…C=0{,}577216\ldots — так называемая постоянная Эйлера и εn→0\varepsilon_n\to0 при n→∞n\to\infty.

Доказательство

Идея

Из известного неравенства(1+1k)k<e<(1+1k)k+1\left(1+\frac1k\right)^k<e<
\left(1+\frac1k\right)^{k+1}после логарифмирования имеемkln⁡(1+1k)<1<(k+1)ln⁡(1+1k),k\ln\left(1+\frac1k\right)
<
1
<
(k+1)\ln\left(1+\frac1k\right),то есть1k+1<ln⁡(1+1k)<1k.\frac1{k+1}
<
\ln\left(1+\frac1k\right)
<
\frac1k.
  1. 1
    Теперьxn−xn+1=ln⁡(1+1n)−1n+1>0,x_n-x_{n+1}
    =
    \ln\left(1+\frac1n\right)-\frac1{n+1}>0,    поэтому xnx_n монотонно убывает.
  2. 2
    Осталось проверить нижнюю ограниченность. Из1k>ln⁡(1+1k)=ln⁡(k+1)−ln⁡k\frac1k
    >
    \ln\left(1+\frac1k\right)
    =
    \ln(k+1)-\ln k    после суммирования по k=1,…,nk=1,\ldots,n получаем∑k=1n1k>ln⁡(n+1).\sum_{k=1}^n\frac1k
    >
    \ln(n+1).    Следовательно,xn=∑k=1n1k−ln⁡n>ln⁡(n+1)−ln⁡n=ln⁡(1+1n)>0.x_n
    =
    \sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n
    >
    \ln(n+1)-\ln n
    =
    \ln\left(1+\frac1n\right)>0.    Последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, значит, имеет конечный предел:lim⁡n→∞xn=C.\boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=C}.

Проверка

Если положить εn=xn−C\varepsilon_n=x_n-C, то εn→0\varepsilon_n\to0, и1+12+⋯+1n=C+ln⁡n+εn.\boxed{
1+\frac12+\cdots+\frac1n
=
C+\ln n+\varepsilon_n
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 146 — решение