Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 142

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 142

Доказать, чтоlim⁡n→∞nn!n=e.\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e.

Опирается на задачу 141

Доказательство

Идея

Положимan=nn!n=nnn!n,xn=nnn!.a_n=\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
=
\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}},
\qquad
x_n=\frac{n^n}{n!}.По задаче 141 достаточно найти предел отношения xn+1xn\frac{x_{n+1}}{x_n}:xn+1xn=(n+1)n+1(n+1)!⋅n!nn=(n+1)nnn=(1+1n)n.\frac{x_{n+1}}{x_n}
=
\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^n}
=
\frac{(n+1)^n}{n^n}
=
\left(1+\frac1n\right)^n.Из второго замечательного предела(1+1n)n→e.\left(1+\frac1n\right)^n\to e.Поэтомуlim⁡n→∞nn!n=lim⁡n→∞xnn=lim⁡n→∞xn+1xn=e.\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
=
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}
=
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}
=
e.
lim⁡n→∞nn!n=e\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e}

Что и требовалось доказать

Демидович № 142 — решение