Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 142

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 142

Доказать, чтоlim⁡n→∞nn!n=e.\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e.

Опирается на

Доказательство

Пусть un=nnn!>0u_n=\frac{n^n}{n!}>0. Тогда искомый член равен unn\sqrt[n]{u_n}, а отношение соседних членов вычисляется без факториала:
un+1un=(n+1)n+1(n+1)! n!nn=(1+1n)n⟶e\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\,
\frac{n!}{n^n}
=\left(1+\frac1n\right)^n
\longrightarrow eпо №69. В №141 доказано, что для положительной последовательности предел соседних отношений, если он существует, равен пределу её корней степени nn. Применяя этот результат к unu_n, находим unn→e\sqrt[n]{u_n}\to e, что и требовалось.

Что и требовалось доказать

Демидович № 142 — решение | Высшая математика — Профиматика