Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 147

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 147

Найтиlim⁡n→∞(1n+1+1n+2+⋯+12n).\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\right).

Опирается на задачу 146

Решение

По задаче 146Sn=1+12+⋯+1n=C+ln⁡n+εn,εn→0.S_n
=
1+\frac12+\cdots+\frac1n
=
C+\ln n+\varepsilon_n,
\qquad
\varepsilon_n\to0.Искомая сумма равна S2n−SnS_{2n}-S_n, поэтомуS2n−Sn=ln⁡(2n)−ln⁡n+ε2n−εn=ln⁡2+ε2n−εn.S_{2n}-S_n
=
\ln(2n)-\ln n+\varepsilon_{2n}-\varepsilon_n
=
\ln2+\varepsilon_{2n}-\varepsilon_n.Обе последовательности ε2n\varepsilon_{2n} и εn\varepsilon_n стремятся к нулю. Значит,lim⁡n→∞(S2n−Sn)=ln⁡2.\lim_{n\to\infty}(S_{2n}-S_n)=\ln2.
Демидович № 147 — решение