Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 141

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 141

Доказать, что если xn>0x_n>0 (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), тоlim⁡n→∞xnn=lim⁡n→∞xn+1xn,\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n},предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.

Доказательство

Пусть a>0a>0.

Зафиксируем 0<ε<a0<\varepsilon<a. Для некоторого NN и всех n≥Nn\ge Na−ε2<xn+1xn<a+ε2.a-\frac{\varepsilon}{2}
<
\frac{x_{n+1}}{x_n}
<
a+\frac{\varepsilon}{2}.Те же оценки верны для k=N,N+1,…,n−1k=N,N+1,\ldots,n-1. Перемножая их, получаем(a−ε2)n−N<xnxN<(a+ε2)n−N,\left(a-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-N}
<
\frac{x_n}{x_N}
<
\left(a+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-N},то естьxN(a−ε2)n−N<xn<xN(a+ε2)n−N.x_N\left(a-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-N}
<
x_n
<
x_N\left(a+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-N}.Извлекая корень nn-й степени,(a−ε2)(xN(a−ε2)N)1n<xnn<(a+ε2)(xN(a+ε2)N)1n.\left(a-\frac{\varepsilon}{2}\right)
\left(\frac{x_N}{(a-\frac{\varepsilon}{2})^N}\right)^{\frac{1}{n}}
<
\sqrt[n]{x_n}
<
\left(a+\frac{\varepsilon}{2}\right)
\left(\frac{x_N}{(a+\frac{\varepsilon}{2})^N}\right)^{\frac{1}{n}}.
Для любого c>0c>0 имеем c1n→1c^{\frac{1}{n}}\to1, поэтому левая и правая части стремятся к a−ε2a-\frac{\varepsilon}{2} и a+ε2a+\frac{\varepsilon}{2}. Значит, при достаточно больших nna−ε<xnn<a+ε,a-\varepsilon<\sqrt[n]{x_n}<a+\varepsilon,а значит,lim⁡n→∞xnn=a.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=a.Пусть a=0a=0.

Зафиксируем ε>0\varepsilon>0. Из xn+1xn→0\frac{x_{n+1}}{x_n}\to0 для некоторого NN и всех n≥Nn\ge N0<xn+1xn<ε2.0<\frac{x_{n+1}}{x_n}<\frac{\varepsilon}{2}.Перемножая эти неравенства, получаем0<xn<xN(ε2)n−N,0<x_n<x_N\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-N},а после извлечения корня0<xnn<ε2(xN(ε2)N)1n.0<\sqrt[n]{x_n}
<
\frac{\varepsilon}{2}
\left(\frac{x_N}{(\frac{\varepsilon}{2})^N}\right)^{\frac{1}{n}}.Множитель в скобках стремится к 11, поэтому для всех достаточно больших nn он меньше 22. Тогда 0<xnn<ε0<\sqrt[n]{x_n}<\varepsilon, то естьlim⁡n→∞xnn=0=a.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=0=a.
Итак,lim⁡n→∞xnn=lim⁡n→∞xn+1xn.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 141 — решение | Высшая математика — Профиматика