Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 149

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 149

Пусть xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:x0>0,xn+1=12(xn+1xn)(n=0,1,2,…).x_0>0,\qquad x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac1{x_n}\right)\qquad(n=0,1,2,\ldots).Доказать, что lim⁡n→∞xn=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=1.

Доказательство

Идея

Из x0>0x_0>0 и рекуррентной формулы сразу следует xn>0x_n>0 для всех n≥0n\geq0.
  1. 1
    Сначала покажем, что xn≥1x_n\geq1 при n≥1n\geq1. Для этогоxn+1−1=12(xn+1xn)−1=(xn−1)22xn≥0.x_{n+1}-1
    =
    \frac12\left(x_n+\frac1{x_n}\right)-1
    =
    \frac{(x_n-1)^2}{2x_n}
    \geq0.    Значит, xn+1≥1x_{n+1}\geq1, и потому xn≥1x_n\geq1 для всех n≥1n\geq1.
  2. 2
    Теперьxn+1−xn=1−xn22xn.x_{n+1}-x_n
    =
    \frac{1-x_n^2}{2x_n}.    При n≥1n\geq1 числитель не положителен, а знаменатель положителен, так что xn+1≤xnx_{n+1}\leq x_n. Последовательность, начиная с x1x_1, монотонно не возрастает и ограничена снизу числом 11, поэтому сходится. Обозначим ее предел через LL; тогда L≥1L\geq1.

Проверка

Переходя к пределу в рекуррентной формуле,L=12(L+1L),L
=
\frac12\left(L+\frac1L\right),откуда 2L2=L2+12L^2=L^2+1 и L2=1L^2=1. С учетом L≥1L\geq1 имеем L=1L=1. Следовательно,lim⁡n→∞xn=1.\boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=1}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 149 — решение