Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 150

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 150

Пусть a,b≥0a,b\ge0. Доказать, что последовательности xnx_n и yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), определяемые следующими формулами:x1=a,y1=b,xn+1=xnyn,yn+1=xn+yn2,x_1=a,\qquad y_1=b,\qquad x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n},\qquad y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},имеют общий пределμ(a,b)=lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn\mu(a,b)=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n(арифметико-геометрическое среднее чисел aa и bb).

Доказательство

Если a=0a=0 или b=0b=0, то xn=0x_n=0 при n≥2n\ge2, а yn=a+b2n−1→0y_n=\frac{a+b}{2^{n-1}}\to0. Рассмотрим теперь a,b>0a,b>0.
Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим даёт x2≤y2x_2\le y_2. Более того, из 0<xn≤yn0<x_n\le y_n следуют оценкиxn≤xnyn=xn+1≤yn+1=xn+yn2≤yn.x_n\le\sqrt{x_ny_n}=x_{n+1}\le y_{n+1}=
\frac{x_n+y_n}{2}\le y_n.Таким образом, начиная со второго члена, xnx_n не убывает, yny_n не возрастает, и обе последовательности заключены между x2x_2 и y2y_2. По теореме о монотонной ограниченной последовательности они имеют конечные пределы uu и vv. Перейдём к пределу в равенстве yn+1=xn+yn2y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}: v=u+v2v=\frac{u+v}{2}, откуда u=vu=v. Следовательно, требуемый общий предел существует.

Что и требовалось доказать

Демидович № 150 — решение | Высшая математика — Профиматика