Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 150

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 150

Доказать, что последовательности xnx_n и yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), определяемые следующими формулами:x1=a,y1=b,xn+1=xnyn,yn+1=xn+yn2,x_1=a,\qquad y_1=b,\qquad x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n},\qquad y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},имеют общий пределμ(a,b)=lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn\mu(a,b)=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n(арифметико-геометрическое среднее чисел aa и bb).

Доказательство

Идея

Пусть a>0a>0 и b>0b>0. Начиная со второго члена выполняется xn≤ynx_n\leq y_n, посколькуy2−x2=a+b2−ab=(a−b)22≥0.y_2-x_2
=
\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}
=
\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{2}
\geq0.Если xn≤ynx_n\leq y_n, то из xn2≤xnyn≤yn2x_n^2\leq x_ny_n\leq y_n^2 следуетxn≤xnyn≤yn,x_n\leq\sqrt{x_ny_n}\leq y_n,то есть xn≤xn+1≤ynx_n\leq x_{n+1}\leq y_n. Одновременноxn≤xn+yn2≤yn,x_n
\leq
\frac{x_n+y_n}{2}
\leq
y_n,поэтому xn≤yn+1≤ynx_n\leq y_{n+1}\leq y_n.
Таким образом, при n≥2n\geq2 последовательность {xn}\{x_n\} возрастает и ограничена сверху, а {yn}\{y_n\} убывает и ограничена снизу. Обе имеют конечные пределы; обозначимlim⁡n→∞xn=α,lim⁡n→∞yn=β.\lim_{n\to\infty}x_n=\alpha,
\qquad
\lim_{n\to\infty}y_n=\beta.Остается показать, что α=β\alpha=\beta. Из xn≤ynx_n\leq y_n имеем0≤yn+1−xn+1=xn+yn2−xnyn≤xn+yn2−xn=yn−xn2.0
\leq
y_{n+1}-x_{n+1}
=
\frac{x_n+y_n}{2}-\sqrt{x_ny_n}
\leq
\frac{x_n+y_n}{2}-x_n
=
\frac{y_n-x_n}{2}.Повторяя эту оценку,0≤yn−xn≤yn−1−xn−12≤yn−2−xn−222≤⋯≤y2−x22 n−2.0\leq y_n-x_n
\leq
\frac{y_{n-1}-x_{n-1}}{2}
\leq
\frac{y_{n-2}-x_{n-2}}{2^2}
\leq\cdots\leq
\frac{y_2-x_2}{2^{\,n-2}}.Правая часть стремится к нулю, поэтому по теореме о зажатой последовательности yn−xn→0y_n-x_n\to0. Но одновременно yn−xn→β−αy_n-x_n\to\beta-\alpha, значит, β−α=0\beta-\alpha=0 и α=β\alpha=\beta.

Проверка

Итак, последовательности имеют общий предел:μ(a,b)=lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn.\boxed{\mu(a,b)=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 150 — решение