Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 148

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 148

Последовательность чисел xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) определяется следующими формулами:x1=a,x2=b,xn=xn−1+xn−22(n=3,4,…).x_1=a,\qquad x_2=b,\qquad x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}2\qquad(n=3,4,\ldots).Найти lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n.

Решение

Идея

Вычтем xn−1x_{n-1} из рекуррентного соотношения:xn−xn−1=−12(xn−1−xn−2).x_n-x_{n-1}
=
-\frac12(x_{n-1}-x_{n-2}).Если обозначить Δn=xn−xn−1\Delta_n=x_n-x_{n-1}, то Δn=−12Δn−1\Delta_n=-\frac12\Delta_{n-1}. Значит, Δn\Delta_n образует геометрическую прогрессию со знаменателем −12-\frac12. Поскольку Δ2=b−a\Delta_2=b-a,Δk=(b−a)(−12)k−2,\Delta_k
=
(b-a)\left(-\frac12\right)^{k-2},то естьxk−xk−1=(b−a)(−12)k−2.x_k-x_{k-1}
=
(b-a)\left(-\frac12\right)^{k-2}.
Теперь распишем xnx_n через сумму соседних приращений:xn=x1+(x2−x1)+⋯+(xn−xn−1)=a+(b−a)∑k=2n(−12)k−2.x_n
=
x_1+(x_2-x_1)+\cdots+(x_n-x_{n-1})
=
a+(b-a)\sum_{k=2}^{n}\left(-\frac12\right)^{k-2}.Частичная сумма геометрической прогрессии имеет предел∑j=0∞(−12)j=11−(−1/2)=23.\sum_{j=0}^{\infty}\left(-\frac12\right)^j
=
\frac{1}{1-(-1/2)}
=
\frac23.Поэтомуlim⁡n→∞xn=a+23(b−a)=a+2b3,\lim_{n\to\infty}x_n
=
a+\frac23(b-a)
=
\frac{a+2b}{3},и окончательноlim⁡n→∞xn=a+2b3.\boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{a+2b}{3}}.
Демидович № 148 — решение