16 Сумма и пересечение подпространств

Сумма и пересечение подпространств

Пусть $U$ и $W$ — подпространства одного пространства $V$ над полем $F$ . Из них можно получить два новых множества: оставить только общие векторы или разрешить складывать векторы из разных подпространств.

Пересечение отвечает на вопрос «какие векторы принадлежат обоим подпространствам?», а сумма — «что можно получить, складывая по одному вектору из каждого?».

Проверим три условия критерия подпространства. Для пересечения:

$\vec{0}\in U$ и $\vec{0}\in W$ , поэтому $\vec{0}\in U\cap W$ ;
если $\vec x,\vec y\in U\cap W$ , то $\vec x+\vec y$ лежит и в $U$ , и в $W$ , следовательно, $\vec x+\vec y\in U\cap W$ ;
если $\vec x\in U\cap W$ и $\lambda\in F$ , то $\lambda\vec x$ лежит и в $U$ , и в $W$ , следовательно, $\lambda\vec x\in U\cap W$ .

Для суммы нулевой вектор также принадлежит множеству:

\vec{0}=\vec{0}+\vec{0}\in U+W.

Пусть

\vec x=\vec u_1+\vec w_1 \qquad \vec y=\vec u_2+\vec w_2

где $\vec u_1,\vec u_2\in U$ и $\vec w_1,\vec w_2\in W$ . Тогда

\vec x+\vec y =(\vec u_1+\vec u_2)+(\vec w_1+\vec w_2) \in U+W.

Для любого $\lambda\in F$

\lambda\vec x =\lambda\vec u_1+\lambda\vec w_1 \in U+W.

Все три условия выполнены. Следовательно, $U\cap W$ и $U+W$ являются подпространствами.

Кроме того, $\vec u=\vec u+\vec{0}\in U+W$ для любого $\vec u\in U$ , а $\vec w=\vec{0}+\vec w\in U+W$ для любого $\vec w\in W$ . Значит, сумма действительно содержит оба исходных подпространства.

Отсюда виден и смысл утверждений о включении. Пересечение — наибольшее общее подпространство: любой общий вектор обязан лежать в $U\cap W$ . Слово «наибольшее» здесь относится к включению. Сумма — наименьшее подпространство, содержащее оба: если подпространство содержит $U$ и $W$ , его замкнутость заставляет содержать все суммы $\vec u+\vec w$ .

LaTeX — Для координатных осей объединение содержит только две прямые, а сумма заполняет всю плоскость

Рисунок показывает главное различие: обычное объединение $U\cup W$ в общем случае не является подпространством. Например, $\vec e_1\in U$ и $\vec e_2\in W$ , но $\vec e_1+\vec e_2\notin U\cup W$ . При этом сумма $U+W$ специально включает такие векторы и всегда остаётся подпространством.

Пример

В $\mathbb{R}^3$ обозначим

\vec e_1=(1,0,0) \qquad \vec e_2=(0,1,0) \qquad \vec e_3=(0,0,1)

и рассмотрим две координатные плоскости

U=\left\langle \vec e_1,\vec e_2\right\rangle \qquad W=\left\langle \vec e_2,\vec e_3\right\rangle

Вектор из $U$ имеет вид $(a,b,0)$ , а вектор из $W$ — вид $(0,c,d)$ . Чтобы принадлежать обоим подпространствам, он должен иметь первую и третью координаты, равные нулю. Поэтому

U\cap W=\left\langle \vec e_2\right\rangle

Для суммы получаем

(a,b,0)+(0,c,d)=(a,b+c,d)

Координаты $a$ , $b+c$ и $d$ можно выбирать произвольно, следовательно,

U+W=\mathbb{R}^3

Общий вектор $\vec e_2$ объясняет, почему одно и то же представление в сумме может получаться разными способами. Прямая сумма и критерий единственности разложения будут обсуждаться после введения базиса и размерности.

Что ищем	Если заданы уравнения	Если заданы порождающие
Пересечение	Объединить все условия и решить полученную систему	Приравнять две общие линейные комбинации
Сумма	Перейти к порождающим векторам каждого подпространства	Объединить порождающие системы и удалить лишние векторы

Если подпространства заданы порождающими системами,

U=\left\langle \vec u_1,\ldots,\vec u_k\right\rangle \qquad W=\left\langle \vec w_1,\ldots,\vec w_m\right\rangle,

то их сумма получается объединением порождающих:

\boxed{ U+W =\left\langle \vec u_1,\ldots,\vec u_k, \vec w_1,\ldots,\vec w_m\right\rangle }

Чтобы найти пересечение, один и тот же общий вектор записывают двумя способами:

\alpha_1\vec u_1+\cdots+\alpha_k\vec u_k =\beta_1\vec w_1+\cdots+\beta_m\vec w_m

После переноса всех слагаемых в одну часть получаем однородную СЛАУ

\alpha_1\vec u_1+\cdots+\alpha_k\vec u_k -\beta_1\vec w_1-\cdots-\beta_m\vec w_m =\vec{0}

Её решения нужно подставить обратно в любую из двух линейных комбинаций: так получаются все векторы $U\cap W$ , а не только коэффициенты вспомогательной системы.

После введения базиса и размерности в следующей статье мы узнаем, когда сумма является прямой и как размеры суммы и пересечения связаны формулой Грассмана. Здесь важны определения, замкнутость и выбор подходящего способа задания.