19 Проверьте себя

Проверьте себя

Сначала ответьте самостоятельно. В доказательных вопросах достаточно короткой цепочки, использующей определение.

1. Что входит в данные векторного пространства, кроме множества \(V\)?

2. Для матрицы

   \[A=\begin{pmatrix} 1&1&-1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}\]

   найдите \(\ker A\), запишите его как линейную оболочку и выделите ФСР.

3. Является ли множество симметричных матриц

   \[S=\{A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}):A^{\mathsf T}=A\}\]

   подпространством?

4. Чем отличаются

   \[2\vec u-\vec v \qquad \{\vec u,\vec v\} \qquad \left\langle \vec u,\vec v\right\rangle\]

   и утверждение «\(\vec u,\vec v\) порождают \(V\)»?

5. Сформулируйте линейную независимость через нулевую комбинацию.

6. Независимы ли функции \(f_1(x)=1\) и \(f_2(x)=x\) в пространстве функций \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)?

7. Подпространство задано порождающими:

   \[W=\left\langle (1,0,1),(0,1,1)\right\rangle\]

   Запишите его как множество решений одного однородного уравнения.

8. Даны

   \[\vec v_1=(1,0,1) \qquad \vec v_2=(0,1,1) \qquad \vec w=(2,1,3)\]

   Запишите систему, проверяющую принадлежность \(\vec w\in\left\langle \vec v_1,\vec v_2\right\rangle\), и определите, принадлежит ли \(\vec w\) этой оболочке.

9. В \(\mathbb{R}^2\) даны

   \[U=\left\langle (1,0)\right\rangle \qquad W=\left\langle (0,1)\right\rangle\]

   Найдите \(U\cap W\) и \(U+W\). Объясните, почему \(U\cup W\) не является подпространством.

Краткие разборы к разделу «Проверьте себя».

1. Нужны две операции: сложение \(V\times V\to V\) и умножение на скаляр \(F\times V\to V\). Они должны удовлетворять восьми аксиомам.

2. Система \(A\vec x=\vec{0}\) имеет вид

   \[\begin{cases} x+y-z=0\\ y+z=0 \end{cases}\]

   Из второго уравнения \(y=-z\), а из первого \(x=2z\). Положив \(z=t\), получаем

   \[\vec x=t(2,-1,1) \qquad \ker A=\left\langle (2,-1,1)\right\rangle\]

   Вектор \((2,-1,1)\) ненулевой, поэтому набор из него линейно независим. Он порождает общее решение, следовательно, является ФСР.

3. Да. Нулевая матрица симметрична, и

   \[(\alpha A+\beta B)^{\mathsf T} =\alpha A^{\mathsf T}+\beta B^{\mathsf T} =\alpha A+\beta B\]

4. Выражение \(2\vec u-\vec v\) задаёт одну линейную комбинацию. Множество \(\{\vec u,\vec v\}\) содержит только два перечисленных вектора, а \(\left\langle \vec u,\vec v\right\rangle\) — все их линейные комбинации. Утверждение «\(\vec u,\vec v\) порождают \(V\)» означает, что \(\left\langle \vec u,\vec v\right\rangle=V\).

5. Система векторов независима, если из

   \[\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_k\vec v_k=\vec{0}\]

   следует \(\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0\).

6. Да. Если \(\alpha+\beta x=0\) при всех \(x\), то при \(x=0\) получаем \(\alpha=0\), а при \(x=1\) — \(\beta=0\).

7. Общий вектор оболочки равен

   \[a(1,0,1)+b(0,1,1)=(a,b,a+b)\]

   Поэтому его координаты удовлетворяют \(x+y-z=0\). Обратно, любой вектор с этим свойством имеет вид \((x,y,x+y)\) и получается при \(a=x\), \(b=y\). Значит,

   \[W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y-z=0\}\]

8. Равенство

   \[a\vec v_1+b\vec v_2=\vec w\]

   даёт систему

   \[\begin{cases} a=2\\ b=1\\ a+b=3 \end{cases}\]

   Она совместна: \(a=2\), \(b=1\). Следовательно,

   \[\vec w=2\vec v_1+\vec v_2 \in\left\langle \vec v_1,\vec v_2\right\rangle\]

9. Векторы из \(U\) имеют вид \((a,0)\), а векторы из \(W\) — вид \((0,b)\). Общим для этих двух видов является только нулевой вектор, поэтому

   \[U\cap W=\{\vec{0}\}\]

   Любой вектор \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) раскладывается как

   \[(x,y)=(x,0)+(0,y)\]

   следовательно, \(U+W=\mathbb{R}^2\). Но \((1,0),(0,1)\in U\cup W\), тогда как \((1,1)\notin U\cup W\). Замкнутость относительно сложения нарушена.