4 Следствия из аксиом

Следствия из аксиом

Некоторые привычные свойства не включают в определение, потому что они автоматически выводятся из восьми аксиом.

Что здесь важно. Эти свойства не являются новыми аксиомами. Они автоматически следуют из восьми условий определения. Для дальнейших задач важно понимать этот принцип и помнить сами свойства; приведённые ниже цепочки показывают, откуда они берутся.

Покажем основные идеи доказательств. Если $\vec{0}_1$ и $\vec{0}_2$ оба являются нулевыми векторами, то

\vec{0}_1=\vec{0}_1+\vec{0}_2=\vec{0}_2

Если $\vec u$ и $\vec w$ оба противоположны $\vec v$ , то

\vec u=\vec u+\vec{0}_V =\vec u+(\vec v+\vec w) =(\vec u+\vec v)+\vec w =\vec w

Из $(0_F+0_F)\vec v=0_F\vec v$ следует

0_F\vec v+0_F\vec v=0_F\vec v

Прибавив противоположный вектор, получаем $0_F\vec v=\vec{0}_V$ . Для нулевого вектора пространства

\alpha\vec{0}_V =\alpha(\vec{0}_V+\vec{0}_V) =\alpha\vec{0}_V+\alpha\vec{0}_V

Прибавив к обеим частям противоположный к $\alpha\vec{0}_V$ вектор, получаем $\alpha\vec{0}_V=\vec{0}_V$ .

Наконец,

\vec v+(-1)\vec v=(1+(-1))\vec v=0_F\vec v=\vec{0}_V

поэтому $(-1)\vec v=-\vec v$ . Если $\alpha\vec v=\vec{0}_V$ , то при $\alpha=0$ первая альтернатива уже выполнена, а при $\alpha\ne0$ умножение на $1/\alpha$ даёт $\vec v=\vec{0}_V$ .