14 Однородные системы и фундаментальная система решений

Однородные системы и фундаментальная система решений

Пусть $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ . Если $\vec x$ и $\vec y$ удовлетворяют $A\vec x=\vec{0}$ и $A\vec y=\vec{0}$ , то

\boxed{ A(\alpha\vec x+\beta\vec y) =\alpha A\vec x+\beta A\vec y =\vec{0} }

Поэтому $\ker A$ всегда является подпространством $\mathbb{R}^n$ .

У неоднородной системы $A\vec x=\vec b$ , $\vec b\ne\vec{0}$ , ситуация другая. Если $\vec x$ и $\vec y$ — решения, то

A(\vec x+\vec y)=2\vec b

причём $2\vec b\ne\vec b$ , поскольку $\vec b\ne\vec{0}$ . Поэтому сумма двух решений не является решением.

Пусть $\vec x_0$ — одно фиксированное решение совместной неоднородной системы, а $\vec x$ — любое другое решение. Тогда

\begin{aligned} A(\vec x-\vec x_0) &=A\vec x-A\vec x_0=\\ &=\vec b-\vec b =\vec{0} \end{aligned}

Следовательно, $\vec z=\vec x-\vec x_0\in\ker A$ и $\vec x=\vec x_0+\vec z$ . Обратно, для любого $\vec z\in\ker A$

A(\vec x_0+\vec z) =A\vec x_0+A\vec z =\vec b

Поэтому множество решений имеет вид

\boxed{ \vec x=\vec x_0+\vec z \qquad \vec z\in\ker A }

LaTeX — Показан частный случай, когда $\ker A$ является прямой. Решения совместной неоднородной системы имеют те же направления, что и $\ker A$, но всё множество сдвинуто на одно частное решение $\vec x_0$. В других задачах $\ker A$ может быть нулевым подпространством, плоскостью, всем $\mathbb{R}^n$ или подпространством другого вида; рисунок показывает лишь один возможный случай.

Сокращённо говорят ФСР. Её получают из общего решения: каждому свободному параметру по очереди дают значение $1$ , а остальным — $0$ . Число векторов стандартно построенной ФСР равно числу свободных переменных. В следующей статье эта независимая порождающая система будет названа базисом пространства решений; здесь нам достаточно уметь её строить и проверять.

Нулевой случай ФСР.

Если свободных переменных нет, однородная система имеет только нулевое решение:

\ker A=\{\vec{0}\}.

В этом случае указанное правило даёт ноль векторов, поэтому принимаем следующую договорённость: ФСР считается пустой системой $\mathcal F=()$ . По стандартному соглашению её линейная оболочка равна $\{\vec{0}\}$ , а условие линейной независимости выполнено. Иногда ту же ситуацию описывают словами «ненулевых фундаментальных решений нет»; далее мы используем именно соглашение о пустой ФСР.

Таким образом, у одного подпространства в $\mathbb{R}^n$ могут быть два равноправных описания:

Неявное описание	Явное описание
$W=\{\vec x:A\vec x=\vec{0}\}=\ker A$	$W=\left\langle \vec z_1,\ldots,\vec z_r\right\rangle$ , где $\vec z_i$ образуют ФСР
Условия, которым должен удовлетворять вектор	Все векторы сразу записаны через свободные параметры

Переход от уравнений к порождающим выполняется методом Гаусса. Обратный переход строит условия на координаты произвольной линейной комбинации. Выбирать удобнее то описание, которое ближе к вопросу задачи.

Пример

Опишем пространство решений системы

\begin{cases} x_1+x_2-x_3=0\\ x_2+x_3-x_4=0 \end{cases}

Матрица коэффициентов системы равна

A= \begin{pmatrix} 1&1&-1&0\\ 0&1&1&-1 \end{pmatrix}

Запишем расширенную матрицу и выполним одно элементарное преобразование:

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&-1&0&0\\ 0&1&1&-1&0 \end{array} \right] \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-R_2} \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&0&-2&1&0\\ 0&1&1&-1&0 \end{array} \right]

Полученная матрица задаёт уравнения

x_1-2x_3+x_4=0 \qquad x_2+x_3-x_4=0

Переменные $x_3,x_4$ свободны. Положим $x_3=s$ , $x_4=t$ . Тогда

x_2=-s+t \qquad x_1=2s-t

\begin{aligned} \vec x &=(2s-t,-s+t,s,t)=\\ &=s(2,-1,1,0)+t(-1,1,0,1) \end{aligned}

Итак,

\ker A =\left\langle (2,-1,1,0),\ (-1,1,0,1)\right\rangle

Обозначим найденные решения через

\vec z_1=(2,-1,1,0) \qquad \vec z_2=(-1,1,0,1)

Проверим их прямым умножением:

A\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \qquad A\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

Они линейно независимы: из $a\vec z_1+b\vec z_2=\vec{0}$ по третьей координате получаем $a=0$ , а по четвёртой — $b=0$ . Общее решение уже показало, что каждый элемент $\ker A$ имеет вид $s\vec z_1+t\vec z_2$ . Следовательно, $\vec z_1,\vec z_2$ образуют ФСР.

Так неявное описание системой превращается в явное описание через все линейные комбинации двух независимых решений.

Главный переход этой темы.

Одна и та же задача может выглядеть по-разному: как система ограничений на координаты или как множество всех комбинаций нескольких решений. Полное понимание появляется тогда, когда вы умеете без потери информации переходить в обе стороны и проверять результат подстановкой и линейной независимостью.

На курсе Максима Горбачёва этот переход разбирается после линейной зависимости и критерия подпространства: метод Гаусса связывает абстрактные определения с вычислением ФСР, а домашние задания закрепляют выбор удобной формы описания.