2 Зачем нужна абстракция

Зачем нужна абстракция

Мы уже работали со столбцами и матрицами. Из школьной алгебры знакомы действия с многочленами и функциями. Сейчас оказывается, что за всеми этими внешне разными объектами стоят два общих действия:

\text{сложение элементов} \qquad\text{и}\qquad \text{умножение элемента на число}

Если доказательство использует только эти действия и их обычные свойства, его не нужно повторять отдельно для столбцов, матриц и функций. Достаточно один раз провести рассуждение в абстрактном векторном пространстве.

Объект	Сложение	Умножение на $\lambda$
Столбцы	По координатам	Каждая координата умножается на $\lambda$
Матрицы	По элементам	Каждый элемент умножается на $\lambda$
Многочлены	Складываются коэффициенты	Все коэффициенты умножаются на $\lambda$
Функции	$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$	$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$

Геометрическая интуиция из $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}^3$ остаётся полезной: из заданных объектов можно получать новые с помощью сложения и умножения на число. Позже множество всех таких результатов мы назовём линейной оболочкой. Подпространства при этом ведут себя как прямые и плоскости, проходящие через начало координат. Но абстрактное определение позволяет применять ту же логику к объектам, которые невозможно нарисовать.