13 Порождающие системы и лишние векторы
Порождающие системы и лишние векторы
Три близких понятия отвечают на разные вопросы:
Объект | Что это означает |
|---|---|
\(2\vec v_1-\vec v_2\) | Одна конкретная линейная комбинация |
\(\left\langle \vec v_1,\vec v_2\right\rangle\) | Множество всех линейных комбинаций |
\(\{\vec v_1,\vec v_2\}\) — порождающая система \(V\) | Её линейная оболочка равна всему \(V\) |
Порождающая система не обязана быть экономной: в ней могут встречаться нулевой вектор, повторения и комбинации других элементов.
Если \(\vec v_j\) выражается через остальные, то в любой комбинации его можно заменить этим выражением. Если после удаления \(\vec v_j\) оболочка не изменилась, то \(\vec v_j\), как элемент прежней оболочки, принадлежит и новой. Значит, он выражается через оставшиеся векторы.