15 Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация

В $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}^3$ линейная оболочка показывает, какие направления доступны с помощью данных векторов.

Набор	Оболочка	Геометрический смысл
Только нулевые векторы	$\{\vec{0}\}$	Одна точка — начало координат
Один ненулевой вектор	$\{t\vec v:t\in\mathbb{R}\}$	Прямая через начало
Два независимых вектора в $\mathbb{R}^3$	$\{s\vec u+t\vec v\}$	Плоскость через начало
Три независимых вектора в $\mathbb{R}^3$	$\mathbb{R}^3$	Всё пространство

LaTeX — Один ненулевой вектор порождает прямую, два независимых — плоскость. Голубая область справа обозначает линейную оболочку $\left\langle \vec u,\vec v\right\rangle$; на рисунке показан лишь конечный фрагмент этой бесконечной плоскости

В $\mathbb{R}^2$ подпространствами могут быть $\{\vec{0}\}$ , прямые через начало и вся плоскость. В $\mathbb{R}^3$ добавляются плоскости через начало. Строгое обоснование того, почему других случаев нет, будет получено после введения базиса и размерности. Сдвинутая прямая или плоскость уже не является векторным подпространством: она не проходит через начало координат.