12 Линейная оболочка

Линейная оболочка

Запись $\left\langle \vec v_1,\ldots,\vec v_k\right\rangle$ читается «линейная оболочка векторов $\vec v_1,\ldots,\vec v_k$ ». Угловые скобки обозначают множество всех линейных комбинаций, а не только перечисленные векторы; в других источниках встречаются обозначения $\operatorname{span}$ и $\operatorname{Lin}$ .

Слово «наименьшее» здесь относится к включению: $\left\langle \vec v_1,\ldots,\vec v_k\right\rangle$ содержится в любом подпространстве, в котором лежат все $\vec v_i$ .

Пусть

\vec x=\sum_{i=1}^{k}a_i\vec v_i \qquad \vec y=\sum_{i=1}^{k}b_i\vec v_i

Тогда для любых $\alpha,\beta\in F$

\alpha\vec x+\beta\vec y =\sum_{i=1}^{k}(\alpha a_i+\beta b_i)\vec v_i

Значит, оболочка замкнута относительно линейных комбинаций.

При нулевых коэффициентах получаем $\vec{0}$ , поэтому оболочка непуста и по сформулированному критерию является подпространством. Каждый $\vec v_i$ получается коэффициентом $1$ при нём и нулевыми коэффициентами при остальных. Любое подпространство, содержащее все $\vec v_i$ , обязано содержать и все их линейные комбинации.

Пример

Пусть

\vec v_1=(1,0,1) \qquad \vec v_2=(0,1,1)

Описание всей оболочки. Все элементы оболочки имеют вид

a\vec v_1+b\vec v_2=(a,b,a+b)

Поэтому

\left\langle \vec v_1,\vec v_2\right\rangle =\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:z=x+y\}

Проверка вектора $\vec w$ . Вектор $\vec w=(2,-1,1)$ лежит в оболочке, потому что

\vec w=2\vec v_1-\vec v_2

Первые два столбца расширенной матрицы — координаты $\vec v_1,\vec v_2$ , а последний столбец — координаты проверяемого вектора $\vec w$ . Поэтому матрица соответствует системе $a\vec v_1+b\vec v_2=\vec w$ :

\left[ \begin{array}{cc|c} 1&0&2\\ 0&1&-1\\ 1&1&1 \end{array} \right]

Первые две строки дают $a=2$ , $b=-1$ , а третья подтверждает $a+b=1$ . Система совместна.

Контрпример: вектор $\vec q$ . Для $\vec q=(1,1,0)$ получаем

\left[ \begin{array}{cc|c} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&0 \end{array} \right] \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-R_1-R_2} \left[ \begin{array}{cc|c} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 0&0&-2 \end{array} \right]

Последняя строка означает $0=-2$ . Система несовместна, поэтому $\vec q\notin\left\langle \vec v_1,\vec v_2\right\rangle$ .

Проверка принадлежности оболочке всегда сводится к системе:

\boxed{\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_k\vec v_k=\vec w}

Система совместна тогда и только тогда, когда $\vec w$ принадлежит оболочке.