3 Определение и восемь аксиом
Определение и восемь аксиом
Запись | Как её читать |
|---|---|
\(V\times V\) | Берём два элемента пространства \(V\) |
\(+:V\times V\to V\) | Их сумма снова должна лежать в \(V\) |
\(F\times V\) | Берём скаляр из поля \(F\) и элемент пространства |
\(\cdot:F\times V\to V\) | После умножения результат снова должен лежать в \(V\) |
Для любых \(\vec u,\vec v,\vec w\in V\) и \(\alpha,\beta\in F\):
Первые четыре аксиомы описывают сложение, следующие три связывают сложение и умножение на скаляры, а восьмая фиксирует действие единицы. Эта группировка поможет увидеть структуру таблицы, а не воспринимать её как восемь несвязанных правил.
№ | Аксиома | Формула |
|---|---|---|
1 | Ассоциативность сложения | \((\vec u+\vec v)+\vec w=\vec u+(\vec v+\vec w)\) |
2 | Коммутативность сложения | \(\vec u+\vec v=\vec v+\vec u\) |
3 | Существование нулевого вектора | \(\exists\,\vec{0}_V\in V\), \(\forall\vec v\in V\): \(\vec v+\vec{0}_V=\vec v\) |
4 | Существование противоположного вектора | \(\forall\vec v\in V\) \(\exists\vec w\in V\): \(\vec v+\vec w=\vec{0}_V\) |
5 | Дистрибутивность по сумме векторов | \(\alpha(\vec u+\vec v)=\alpha\vec u+\alpha\vec v\) |
6 | Дистрибутивность по сумме скаляров | \((\alpha+\beta)\vec v=\alpha\vec v+\beta\vec v\) |
7 | Согласованность умножений | \((\alpha\beta)\vec v=\alpha(\beta\vec v)\) |
8 | Умножение на единицу | \(1\vec v=\vec v\) |
Символ \(\forall\) читается «для любого», а \(\exists\) — «существует». Замкнутость операций записана в отображениях \(V\times V\to V\) и \(F\times V\to V\), а следующие восемь тождеств описывают свойства этих операций.