Как проверять подмножество Практический алгоритм повторяет три проверки из критерия подпространства.
Определите пространство \(V\) . Без него и заданных на нём операций нельзя обсуждать подпространство.
Проверьте нулевой элемент. Если \(\vec{0}\notin U\) , проверка сразу закончена.
Проверьте сложение. Из \(\vec u,\vec v\in U\) выведите \(\vec u+\vec v\in U\) .
Проверьте умножение на скаляр. Из \(\vec u\in U\) и \(\lambda\in F\) выведите \(\lambda\vec u\in U\) .
Когда обе замкнутости удобно проверять одновременно, шаги 3 и 4 можно заменить проверкой \(\alpha\vec u+\beta\vec v\in U\) для произвольных \(\alpha,\beta\in F\) .
Особенно хорошо этот метод работает для линейных однородных условий . Например, пусть
\[U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x-2y+z=0\}\]
Нулевой вектор принадлежит \(U\) , поскольку \(0-2\cdot0+0=0\) . Кроме того, если \(\vec u=(x_1,y_1,z_1)\in U\) и \(\vec v=(x_2,y_2,z_2)\in U\) , то для любых \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) левая часть условия для \(\alpha\vec u+\beta\vec v\) равна
\[\begin{aligned}
&(\alpha x_1+\beta x_2)
-2(\alpha y_1+\beta y_2)
+(\alpha z_1+\beta z_2)=\\
&=\alpha(x_1-2y_1+z_1)
+\beta(x_2-2y_2+z_2)
=0
\end{aligned}\]
Условия с ненулевой правой частью, неравенства, ограничения на длину и произведения координат обычно разрушают замкнутость.
Пример
Рассмотрим множество
\[S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}\]
Это объединение двух координатных осей. Нулевой вектор лежит в \(S\) , и умножение элемента \(S\) на скаляр не выводит его из множества. Однако
\[(1,0),(0,1)\in S
\qquad
(1,0)+(0,1)=(1,1)\notin S\]
Следовательно, \(S\) не является подпространством: замкнутость относительно сложения нарушена. Наличие нуля и выполнение одного из условий замкнутости ещё не заменяют полную проверку критерия.
Пример
Множество вырожденных матриц не является подпространством. Рассмотрим множество
\[T=\{A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}):\det A=0\}\]
Оно содержит нулевую матрицу, а скалярное кратное вырожденной матрицы снова вырождено, поскольку для матриц размера \(2\times2\)
\[\det(\lambda A)=\lambda^2\det A=0\]
Однако матрицы
\[A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
\qquad
B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\]
вырождены, тогда как
\[A+B=I_2\]
обратима. Значит, \(T\) также не замкнуто относительно сложения и не является подпространством.
Когда одного признака недостаточно.
В разобранном примере видно, какое условие критерия нарушилось. В новой задаче это уже не всегда заметно: множество может содержать ноль, быть замкнутым относительно умножения на скаляр и всё же не быть замкнутым относительно сложения. Поэтому следующий навык — не просто помнить критерий подпространства, а уметь по форме условия понять, что именно нужно проверить и какой контрпример искать.
На курсе Максима Горбачёва по линейной алгебре в онлайн-школе «Профиматика» этот навык закрепляется на более разнообразных задачах, где способ проверки и нарушенное условие заранее не подсказаны.
Задача
Определите, какие множества являются подпространствами указанных пространств.
\(U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x-2y+z=0\}\) .
\(W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x-2y+z=1\}\) .
\(Q=\{p\in\mathcal{P}_2:p(0)=0\}\) .
\(S=\{p\in\mathcal{P}_2:\deg p=2\}\) .
Для каждого отрицательного ответа укажите, какое условие критерия подпространства нарушено, и приведите конкретную проверку или контрпример.
Два неизбежных подпространства.
В любом пространстве \(V\) множества \(\{\vec{0}\}\) и \(V\) являются подпространствами. В этой статье будем называть их тривиальными подпространствами , а подпространство \(U\) , для которого
\[\{\vec{0}\}\ne U\ne V,\]
— нетривиальным . Термины «собственное» и «несобственное» в разных учебниках используют по-разному, поэтому без отдельной договорённости мы их применять не будем.
