Подпространство — это часть уже известного пространства, в которой разрешены те же операции и из которой эти операции не выводят наружу.
Проверять все восемь аксиом заново не требуется: они уже верны в \(V\). Нужно убедиться только, что операции не выводят элементы за пределы \(U\).
После трёх отдельных проверок удобно применять эквивалентную компактную запись:
\[\boxed{
U\ne\varnothing
\quad\text{и}\quad
\alpha\vec u+\beta\vec v\in U
\qquad
\text{для всех }\vec u,\vec v\in U,\ \alpha,\beta\in F
}\]
Действительно, из непустоты можно выбрать \(\vec u\in U\), а при \(\alpha=\beta=0\) получить \(\vec{0}\in U\). Значения \(\alpha=\beta=1\) дают замкнутость относительно сложения, а \(\beta=0\) — замкнутость относительно умножения на скаляр. Обратно, если нулевой вектор и обе отдельные замкнутости уже проверены, то \(\alpha\vec u\) и \(\beta\vec v\) лежат в \(U\), а значит, лежит и их сумма.
Подпространство \(U\subseteq V\) содержит нулевой вектор и замкнуто относительно операций пространства \(V\)
Рисунок передаёт только отношение включения и замкнутость; форма овала не означает специальной геометрической формы подпространства.
