9 Проверка зависимости в разных пространствах

Проверка зависимости в разных пространствах

Определение одинаково для всех пространств, но равенство нулю раскрывается по-разному.

Столбцы в $\mathbb{R}^n$

Поместите векторы в столбцы матрицы:

A=(\vec v_1\ \cdots\ \vec v_k)

Тогда

\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_k\vec v_k=\vec{0} \quad\Longleftrightarrow\quad A\vec\alpha=\vec{0}

Здесь

\vec\alpha= \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_k \end{pmatrix}

— столбец неизвестных коэффициентов линейной комбинации. Набор независим тогда и только тогда, когда однородная система имеет только нулевое решение.

Матрицы

Запишите

\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_kA_k=O_{m\times n}

для матриц $A_i\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ и приравняйте соответствующие элементы. Получится обычная система относительно $\alpha_i$ .

Многочлены

В тождестве

\alpha_1p_1(x)+\cdots+\alpha_kp_k(x)\equiv0

приравняйте коэффициенты при одинаковых степенях $x$ . Нулевой многочлен имеет все коэффициенты, равные нулю.

Функции

Равенство

\alpha_1f_1(x)+\cdots+\alpha_kf_k(x)=0

должно выполняться для каждого $x$ . Иногда достаточно подставить несколько удачно выбранных значений аргумента и получить систему для коэффициентов.

Если выбранные значения уже вынуждают все коэффициенты быть нулевыми, независимость доказана. Если после подстановок остаются ненулевые варианты коэффициентов, этого ещё недостаточно для вывода о зависимости: исходное равенство должно выполняться для всех $x$ .