8 Линейная зависимость и независимость

Линейная зависимость и независимость

Независимость означает отсутствие лишних векторов: ни один вектор набора нельзя выразить линейной комбинацией остальных.

Если

\[\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_k\vec v_k=\vec{0}\]

и, например, \(\alpha_k\ne0\), то

\[\vec v_k =-\frac{\alpha_1}{\alpha_k}\vec v_1-\cdots- \frac{\alpha_{k-1}}{\alpha_k}\vec v_{k-1}\]

Обратно, такое выражение сразу переносится в нетривиальную нулевую комбинацию.

Осталось связать зависимость с неединственностью представления. Если существует нетривиальная нулевая комбинация, то уже нулевой вектор имеет два разных представления: тривиальное и найденное нетривиальное. Обратно, если

\[\sum_{i=1}^k\alpha_i\vec v_i =\sum_{i=1}^k\beta_i\vec v_i\]

и наборы коэффициентов различны, то

\[\sum_{i=1}^k(\alpha_i-\beta_i)\vec v_i=\vec{0}\]

— нетривиальная нулевая комбинация.

Эквивалентная сильная формулировка: система \(\vec v_1,\ldots,\vec v_k\) линейно независима тогда и только тогда, когда каждый вектор, представимый её линейной комбинацией, имеет единственное такое представление

\[\alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_k\vec v_k.\]

Полезные следствия:

  • набор, содержащий \(\vec{0}\), линейно зависим;

  • два ненулевых вектора зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны;

  • любое расширение зависимого набора остаётся зависимым;

  • любое подмножество независимого набора независимо;

  • добавление \(\vec w\) к независимому набору сохраняет независимость тогда и только тогда, когда \(\vec w\) не выражается линейной комбинацией векторов этого набора.

Будем говорить, что векторы \(\vec g_1,\ldots,\vec g_n\) порождают пространство \(V\), если каждый вектор \(V\) выражается их линейной комбинацией.

Пусть \(\vec g_1,\ldots,\vec g_n\) порождают \(V\), и выбраны \(\vec v_1,\ldots,\vec v_{n+1}\in V\). Каждый \(\vec v_j\) можно представить через эти векторы:

\[\vec v_j=c_{1j}\vec g_1+\cdots+c_{nj}\vec g_n\]

Рассмотрим однородную систему из \(n\) уравнений относительно \(n+1\) неизвестных:

\[\sum_{j=1}^{n+1}c_{ij}\alpha_j=0, \qquad i=1,\ldots,n\]

Неизвестных больше, чем уравнений, поэтому система имеет ненулевое решение. Для найденных коэффициентов

\[\begin{aligned} \alpha_1\vec v_1+\cdots+\alpha_{n+1}\vec v_{n+1} &=\sum_{i=1}^{n} \left(\sum_{j=1}^{n+1}c_{ij}\alpha_j\right)\vec g_i=\vec{0} \end{aligned}\]

Нулевая комбинация нетривиальна, значит, выбранные \(n+1\) векторов зависимы. В частности, в \(\mathbb{R}^n\) любой набор из более чем \(n\) векторов зависим.