5 Главные примеры пространств

Главные примеры пространств

Все операции ниже являются обычными: покоординатными, поэлементными или поточечными.

Столбцы

Множество

\mathbb{R}^n=\{(x_1,\ldots,x_n):x_i\in\mathbb{R}\}

— векторное пространство. Нулевой вектор равен $(0,\ldots,0)$ , противоположный к $(x_1,\ldots,x_n)$ равен $(-x_1,\ldots,-x_n)$ .

Для компактности координаты будем писать как $(x_1,\ldots,x_n)$ . Когда вектор участвует в матричном произведении $A\vec x$ , подразумевается соответствующий столбец координат.

Матрицы

Множество всех матриц фиксированного размера

M_{m\times n}(\mathbb{R})

является векторным пространством. Важно фиксировать размер: матрицы разных размеров нельзя складывать.

Многочлены

Над произвольным полем $F$ обозначим через

\mathcal{P}_n(F)=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n:a_i\in F\}

пространство многочленов степени не выше $n$ , включая нулевой многочлен. Для того же пространства также встречается обозначение $F_n[x]$ . В вещественных примерах будем сокращённо писать $\mathcal{P}_n=\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ , а пространство всех вещественных многочленов обозначать $\mathbb{R}[x]$ . Коэффициенты при отсутствующих степенях считаются нулевыми.

Функции

Если $X$ — произвольное множество, то множество всех функций

\mathcal F(X,\mathbb{R})=\{f:X\to\mathbb{R}\}

является векторным пространством с операциями

(f+g)(x)=f(x)+g(x) \qquad (\lambda f)(x)=\lambda f(x)

Нулевой вектор здесь — функция, тождественно равная нулю. Непрерывные функции на $[a,b]$ также образуют пространство $C[a,b]$ , потому что сумма и скалярное кратное непрерывных функций непрерывны.

Решения однородной системы

Для любой матрицы $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ множество решений однородной системы $A\vec x=\vec{0}$ обозначают

\boxed{\ker A=\{\vec x\in\mathbb{R}^n:A\vec x=\vec{0}\}}

и называют ядром матрицы. Пока воспринимайте $\ker A$ как компактное название множества всех решений. Ниже мы докажем, что $\ker A$ является подпространством $\mathbb{R}^n$ , а значит, само является векторным пространством.

Здесь матрица $A$ задаёт правило $\vec x\mapsto A\vec x$ , а $\ker A$ состоит из всех векторов, которые это правило переводит в нулевой вектор.

Пространство	Нулевой вектор	Типичный элемент
$\mathbb{R}^n$	$(0,\ldots,0)$	$(x_1,\ldots,x_n)$
$M_{m\times n}(\mathbb{R})$	Нулевая матрица	Матрица размера $m\times n$
$\mathcal{P}_n$	Нулевой многочлен	$a_0+\cdots+a_nx^n$
$\mathcal F(X,\mathbb{R})$	$f(x)\equiv0$	Функция $f:X\to\mathbb{R}$
$\ker A$	Нулевой столбец	Решение $A\vec x=\vec{0}$