11 Фундаментальная система решений

Фундаментальная система решений

В статье 6 ядро матрицы и ФСР появились при описании пространства решений однородной системы. Напомним эти понятия и теперь выразим их через базис и размерность.

Для матрицы $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ множество

\ker A=\{\vec x\in\mathbb{R}^n:A\vec x=\vec{0}\}

называется ядром матрицы $A$ . Это множество всех векторов, которые матрица $A$ переводит в нулевой вектор. Оно является подпространством $\mathbb{R}^n$ и совпадает с пространством решений однородной системы $A\vec x=\vec{0}$ .

Фундаментальной системой решений, или ФСР, однородной системы $A\vec x=\vec{0}$ называется линейно независимая система решений, через которую выражается любое решение этой системы. Два условия определения совпадают с двумя условиями базиса. Поэтому

\boxed{ \mathcal F\text{ --- ФСР} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathcal F\text{ --- базис }\ker A }

Это и есть главный смысловой мост со статьёй 6.

Стандартный алгоритм строит особенно удобную ФСР.

LaTeX — Четыре шага построения фундаментальной системы решений

Пример

Найдём ФСР системы

\begin{cases} x_1+2x_2-x_3+x_4=0\\ 2x_1+4x_2+x_3+5x_4=0 \end{cases}

Выполним преобразования строк:

\left( \begin{array}{cccc|c} 1&2&-1&1&0\\ 2&4&1&5&0 \end{array} \right) \xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-2R_1} \left( \begin{array}{cccc|c} 1&2&-1&1&0\\ 0&0&3&3&0 \end{array} \right) \xrightarrow{R_2\leftarrow R_2/3} \left( \begin{array}{cccc|c} 1&2&-1&1&0\\ 0&0&1&1&0 \end{array} \right)

Затем прибавим вторую строку к первой:

\left( \begin{array}{cccc|c} 1&2&-1&1&0\\ 0&0&1&1&0 \end{array} \right) \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1+R_2} \left( \begin{array}{cccc|c} 1&2&0&2&0\\ 0&0&1&1&0 \end{array} \right)

Получили улучшенный ступенчатый вид. Главным переменным $x_1,x_3$ соответствуют синие столбцы, свободным $x_2,x_4$ — розовые:

Из цветового выделения видно, какие переменные выражаются через остальные:

Положим

x_2=s, \qquad x_4=t

Тогда

x_1=-2s-2t, \qquad x_3=-t

Общее решение имеет вид

\begin{aligned} \vec x &=(-2s-2t,s,-t,t)=\\ &=s(-2,1,0,0)+t(-2,0,-1,1) \end{aligned}

Поэтому одна из фундаментальных систем решений равна

\mathcal F=((-2,1,0,0),\ (-2,0,-1,1))

В свободных позициях $2$ и $4$ эти два решения образуют стандартные столбцы $(1,0)$ и $(0,1)$ . Поэтому они независимы, а формула общего решения показывает, что они порождают весь $\ker A$ .

Каждой свободной переменной соответствует один вектор стандартно построенной ФСР. Поэтому, если у матрицы $A$ $n$ столбцов, то

\boxed{ \begin{aligned} \dim\ker A &=\text{число свободных переменных}= n-\operatorname{rk} A \end{aligned} }

Это равенство называют теоремой о ранге и дефекте. Здесь оно видно прямо: каждый ведущий столбец отвечает одной главной переменной, а остальные $n-\operatorname{rk} A$ переменных свободны.

Если свободных переменных нет, однородная система имеет только нулевое решение. В соответствии с договорённостью статьи 6 ФСР в этом случае пуста, $\ker A=\{\vec{0}\}$ , пустая система является базисом нулевого пространства и $\dim\ker A=0$ .