6 Как находить координаты вектора

Как находить координаты вектора

Пусть векторы базиса $\mathcal B=(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)$ записаны столбцами в стандартных координатах. Составим базисную матрицу

B=(\vec b_1\ \cdots\ \vec b_n)

Если $\vec x=\left[\vec v\right]_{\mathcal B}$ , то равенство разложения записывается как

\boxed{B\vec x=\vec v}

Отсюда получается универсальный алгоритм.

Запишите базисные векторы в столбцы матрицы $B$
Составьте систему $B\vec x=\vec v$
Решите её методом Гаусса или, если $B^{-1}$ уже известна, найдите $\vec x=B^{-1}\vec v$
Проверьте ответ восстановлением $\vec v=B\vec x$

Пример

В $\mathbb{R}^3$ возьмём базис

\mathcal B=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))

Найдём координаты $\vec v=(4,5,3)$ . Нужно решить

\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\5\\3\end{pmatrix}

Покажем ключевые шаги метода Гаусса:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&4\\ 1&1&0&5\\ 0&1&1&3 \end{array} \right) \xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-R_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&4\\ 0&1&-1&1\\ 0&1&1&3 \end{array} \right) \xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&4\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&2&2 \end{array} \right)

Отсюда $x_3=1$ , затем $x_2=2$ и $x_1=3$ . Таким образом,

x_1=3, \qquad x_2=2, \qquad x_3=1

Следовательно,

\left[\vec v\right]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}

Проверка восстанавливает исходный вектор:

3(1,1,0)+2(0,1,1)+(1,0,1)=(4,5,3)

Для матриц и многочленов действует тот же принцип. Нужно приравнять соответствующие элементы матриц или коэффициенты при одинаковых степенях, получить систему для неизвестных координат и проверить разложение.