Разные базисы одного конечномерного пространства могут состоять из разных векторов, но число векторов в них всегда одинаково.
Идея доказательства опирается на системы уравнений. Пусть \((\vec e_1,\ldots,\vec e_n)\) — известный базис, а \(\vec v_1,\ldots,\vec v_m\) — произвольные векторы. Каждый \(\vec v_j\) можно разложить по базису \(\vec e_i\), поэтому коэффициенты этих разложений образуют матрицу размера \(n\times m\).
Если \(m>n\), у однородной системы с этой матрицей есть ненулевое решение. Оно задаёт нетривиальную линейную комбинацию \(\vec v_1,\ldots,\vec v_m\), равную нулю. Значит, независимая система содержит не более \(n\) векторов.
Пусть теперь \((\vec v_1,\ldots,\vec v_m)\) — второй базис. Поскольку он независим, из предыдущего рассуждения следует \(m\le n\). Поменяв два базиса ролями, получаем \(n\le m\). Следовательно, \(m=n\): любые два базиса конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов.
Размерностью конечномерного пространства \(V\) называется число векторов в любом его базисе. Обозначение:
\[\dim V\]
Нулевое пространство \(\{\vec{0}\}\) имеет пустой базис и размерность \(0\).
Последние два пункта особенно полезны: когда количество векторов уже равно размерности, достаточно проверить только одно из двух условий базиса.
Если \(U\subseteq V\) — подпространство конечномерного пространства, то
\[\dim U\le\dim V\]
Равенство возможно только при \(U=V\). Действительно, базис \(U\) является независимой системой в \(V\); если в нём уже \(\dim V\) векторов, он автоматически становится базисом всего \(V\).
