12 Матрица перехода между базисами

Матрица перехода между базисами

Пусть в одном пространстве выбраны два упорядоченных базиса

\mathcal B=(\vec b_1,\ldots,\vec b_n), \qquad \mathcal C=(\vec c_1,\ldots,\vec c_n)

Каждый вектор нового базиса $\mathcal C$ единственным образом раскладывается по базису $\mathcal B$ . Соберём координатные столбцы этих разложений в одну матрицу.

Матрицей перехода, переводящей координаты из базиса $\mathcal C$ в базис $\mathcal B$ , назовём матрицу

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} = \left( \left[\vec c_1\right]_{\mathcal B} \ \cdots\ \left[\vec c_n\right]_{\mathcal B} \right)

Стрелка в индексе показывает направление координатного преобразования: результат $\leftarrow$ исходные координаты.

В столбце номер $j$ стоят координаты вектора $\vec c_j$ в базисе $\mathcal B$ . Поэтому равенство между упорядоченными строками базисных векторов имеет вид

(\vec c_1,\ldots,\vec c_n) =(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}

Столбцы удобно сопоставлять по цвету:

Первый столбец описывает $\vec c_1$ , а последний — $\vec c_n$ . Координаты записываются столбцами, а не строками.

Альтернативное соглашение об обозначениях.

В некоторых источниках используется запись $T_{\mathcal B\to\mathcal C}$ : её стрелка показывает, что новый базис $\mathcal C$ выражается через старый базис $\mathcal B$ . Стрелка в $P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}$ показывает направление преобразования координат. Это одна и та же матрица:

T_{\mathcal B\to\mathcal C}=P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C},

поэтому одновременно верны формулы

\begin{aligned} (\vec c_1,\ldots,\vec c_n) &=(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)T_{\mathcal B\to\mathcal C}\\ \left[\vec v\right]_{\mathcal B} &=T_{\mathcal B\to\mathcal C}\left[\vec v\right]_{\mathcal C} \end{aligned}

Стрелка у $T$ описывает построение нового базиса, а стрелка у $P$ — движение координат. Содержание столбцов у обеих записей одинаково.

Если базисные векторы записаны в стандартных координатах, введём матрицы

B=(\vec b_1\ \cdots\ \vec b_n), \qquad C=(\vec c_1\ \cdots\ \vec c_n)

Из равенства $C=BP_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}$ получаем

\boxed{P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=B^{-1}C}

Матрица перехода квадратная, потому что оба базиса содержат одинаковое число $n$ векторов. Она обратима, поскольку переход между двумя системами координат взаимно однозначен: по координатам в одном базисе можно единственным образом восстановить координаты в другом. Обратная матрица меняет направление:

P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} =P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}^{-1}

Действительно, в нулевой комбинации векторов $\vec c_j$ столбец коэффициентов при базисе $\mathcal B$ равен $Q\vec x$ . Из обратимости $Q$ следует $\vec x=\vec{0}$ , поэтому векторы $\vec c_j$ независимы. Их ровно $n=\dim V$ , следовательно, они образуют базис.

Если нужно перейти через промежуточный базис $\mathcal C$ , матрицы перемножаются в порядке движения координат:

P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal D} =P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal D}

Сначала правая матрица переводит координаты из $\mathcal D$ в $\mathcal C$ , затем левая — из $\mathcal C$ в $\mathcal B$ .