2 Зачем пространству система измерения

Зачем пространству система измерения

Вектор существует независимо от того, как мы его записали. Но для вычислений нужно выбрать упорядоченную систему базисных векторов, относительно которых будут измеряться все остальные векторы. Эти векторы задают не только направления, но и масштаб единичного шага по каждому направлению.

На плоскости привычный выбор состоит из горизонтального и вертикального единичных векторов. Тогда вектор \((4,2)\) означает четыре шага по первому направлению и два по второму. Если выбрать диагональные направления

\[\vec c_1=(1,1), \qquad \vec c_2=(1,-1)\]

тот же вектор раскладывается иначе:

\[(4,2)=3\vec c_1+\vec c_2\]

Его координаты стали равны \((3,1)\), хотя сам вектор не изменился.

LaTeX
Один вектор получает разные координаты в двух базисах

Чтобы выбранные направления действительно задавали систему измерения, нужны два условия:

  1. из них должен выражаться каждый вектор пространства;

  2. выражение не должно быть неоднозначным.

Первое условие отвечает за полноту, второе — за отсутствие лишних направлений.