8 Как проверить, что система является базисом

Как проверить, что система является базисом

Способ проверки зависит от того, как задано пространство и сколько векторов содержит система.

Рангом матрицы называется число ведущих элементов в её ступенчатом виде. Он равен максимальному числу линейно независимых столбцов и одновременно максимальному числу линейно независимых строк матрицы. Поэтому ранг матрицы, составленной из векторов-столбцов, показывает, сколько среди них независимых направлений.

Ситуация	Что проверить	Признак базиса
$n$ столбцов в $\mathbb{R}^n$	Определитель или ранг матрицы столбцов	$\det B\ne0$ или $\operatorname{rk} B=n$
$n$ векторов в пространстве размерности $n$	Независимость или порождение	Достаточно одного условия
Многочлены	Приравнять коэффициенты в нулевой комбинации	Только нулевые коэффициенты
Матрицы	Приравнять элементы в нулевой комбинации	Только тривиальное решение
Число векторов неизвестно относительно $\dim V$	Проверить оба свойства определения	Независимость и порождение одновременно